\(\omega=x^2dx+y^2dy\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr^2\) qui est un ouvert étoilé de \(\Rr^2\) et est fermée car \(\frac{\partial P}{\partial y}=0= \frac{\partial Q}{\partial x}\). On en déduit que \(\omega\) est exacte sur \(\Rr^2\) d’après le théorème de Schwarz. Par suite, l’intégrale de \(\omega\) le long de tout cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique est nulle. \(\omega=y^2dx+x^2dy\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr^2\) et n’est pas fermée car \(\frac{\partial P}{\partial y}=2y\neq2x= \frac{\partial Q}{\partial x}\). On en déduit que \(\omega\) n’est pas exacte sur \(\Rr^2\). L’intégrale de \(\omega\) le long d’un cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique n’est plus nécessairement nulle.

On parcourt le cercle \(C\) le cercle de centre \((a,b)\) et de rayon \(R>0\) une fois dans le sens trigonométrique ou encore on considère l’arc paramétré \(\gamma~:~t\mapsto(a+R\cos t,b+R\sin t)\), \(t\) variant en croissant de \(0\) à \(2\pi\).

\[\begin{align*}\ensuremath \int_{\gamma}^{}\omega&=\int_{0}^{2\pi}\left((b+R\sin t)^2(-R\sin t)+(a+R\cos t)^2(R\cos t)\right)\;dt\\ &=R\int_{0}^{2\pi}(a\cos t-b\sin t+2aR\cos^2t-2bR\sin^2t+R^2(\cos^3t-\sin^3t))\;dt\\ &=R^2\int_{0}^{2\pi}(2a\cos^2t-2b\sin^2t+R(\cos^3t-\sin^3t))\;dt\\ &=R^2\int_{0}^{2\pi}(a(1+\cos t)-b(1-\cos t)+R(\cos t-\sin t)(\cos^2t+\cos t\sin t+\sin^2t))\;dt\\ &=R^2\int_{0}^{2\pi}(a-b+R(\cos t-\sin t)(1+\cos t\sin t))\;dt\\ &=R^2\left(2\pi(b-a)+\int_{0}^{2\pi}R(\cos t-\sin t+\cos^2t\sin t-\cos t\sin^2t)\;dt\right)\\ &=2\pi R^2(b-a). \end{align*}\]

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