On choisit un repère orthonormé dans lequel $P$ a pour coordonnées $(a,b)$ , $a>0$ , $b>0$ et l’hyperbole $\mathcal{H}$ a pour équation $xy=ab$ . Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $P$ et de rayon $PQ$ admet pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l} x=a+2\sqrt{a^2+b^2}\cos t\\ y=b+2\sqrt{a^2+b^2}\sin t \end{array} \right.$ , $t\in\Rr$ . Soit donc $M\left(a+2\sqrt{a^2+b^2}\cos t,b+2\sqrt{a^2+b^2}\sin t\right)$ un point de $\mathcal{C}$ .

$\begin{align*}\ensuremath M\in\mathcal{C}&\Leftrightarrow(a+2\sqrt{a^2+b^2}\cos t)(b+2\sqrt{a^2+b^2}\sin t)=ab\\ &\Leftrightarrow2\sqrt{a^2+b^2}(b\cos t+a\sin t)+4(a^2+b^2)\cos t\sin t=0\\ &\Leftrightarrow2(a^2+b^2)\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos t+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin t+\sin(2t)=0\right)\\ &\Leftrightarrow\sin(2t)+\sin(t+t_0)+0\;\text{où}\;\cos(t_0)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\;\text{et}\;\sin(t_0)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\Zz/\;2t=-t-t_0+2k\pi\;\text{ou}\;\exists k\in\Zz/\;2t=\pi+t+t_0+2k\pi\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\Zz/\;t=-\frac{t_0}{3}+\frac{2k\pi}{3}\;\text{ou}\;\exists k\in\Zz/\;t=\pi+t_0+2k\pi. \end{align*}$ $t=\pi+t_0+2k\pi$ fournit le point de coordonnées $(-a,-b)$ c’est-à-dire le point $Q$ . Sinon, on obtient trois autres points les points $M\left(-\frac{t_0}{3}\right)$ , $M\left(-\frac{t_0}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)$ et $M\left(-\frac{t_0}{3}+\frac{4\pi}{3}\right)$ . On note $A$ , $B$ et $C$ ces trois points. Puisque ces trois points sont sur un cercle de centre $P$ et que $\left(\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB}\right)=\left(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}\right)=\left(\overrightarrow{PC},\overrightarrow{PA}\right)=\frac{2\pi}{3}$ , le triangle $ABC$ est équilatéral.

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