On choisit un repère orthonormé dans lequel \(P\) a pour coordonnées \((a,b)\), \(a>0\), \(b>0\) et l’hyperbole \(\mathcal{H}\) a pour équation \(xy=ab\). Le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(P\) et de rayon \(PQ\) admet pour représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{l} x=a+2\sqrt{a^2+b^2}\cos t\\ y=b+2\sqrt{a^2+b^2}\sin t \end{array} \right.\), \(t\in\Rr\). Soit donc \(M\left(a+2\sqrt{a^2+b^2}\cos t,b+2\sqrt{a^2+b^2}\sin t\right)\) un point de \(\mathcal{C}\).

\[\begin{align*}\ensuremath M\in\mathcal{C}&\Leftrightarrow(a+2\sqrt{a^2+b^2}\cos t)(b+2\sqrt{a^2+b^2}\sin t)=ab\\ &\Leftrightarrow2\sqrt{a^2+b^2}(b\cos t+a\sin t)+4(a^2+b^2)\cos t\sin t=0\\ &\Leftrightarrow2(a^2+b^2)\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos t+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin t+\sin(2t)=0\right)\\ &\Leftrightarrow\sin(2t)+\sin(t+t_0)+0\;\text{où}\;\cos(t_0)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\;\text{et}\;\sin(t_0)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\Zz/\;2t=-t-t_0+2k\pi\;\text{ou}\;\exists k\in\Zz/\;2t=\pi+t+t_0+2k\pi\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\Zz/\;t=-\frac{t_0}{3}+\frac{2k\pi}{3}\;\text{ou}\;\exists k\in\Zz/\;t=\pi+t_0+2k\pi. \end{align*}\] \(t=\pi+t_0+2k\pi\) fournit le point de coordonnées \((-a,-b)\) c’est-à-dire le point \(Q\). Sinon, on obtient trois autres points les points \(M\left(-\frac{t_0}{3}\right)\), \(M\left(-\frac{t_0}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)\) et \(M\left(-\frac{t_0}{3}+\frac{4\pi}{3}\right)\). On note \(A\), \(B\) et \(C\) ces trois points. Puisque ces trois points sont sur un cercle de centre \(P\) et que \(\left(\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB}\right)=\left(\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}\right)=\left(\overrightarrow{PC},\overrightarrow{PA}\right)=\frac{2\pi}{3}\), le triangle \(ABC\) est équilatéral.

\[\]

exo7 5551