Tout d’abord , on montre facilement par récurrence que, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(u_n\) existe et \(u_n\geq1\). Mais alors, pour tout entier naturel non nul \(n\), \(1\leq u_{n+1}=1+\frac{n}{u_n}\leq1+n\). Par suite, pour \(n\geq2\), \(1\leq u_n\leq n\), ce qui reste vrai pour \(n=1\).

\[\forall n\in\Nn^*,\;1\leq u_n\leq n.\] Supposons momentanément que la suite \((u_n-\sqrt{n})_{n\geq1}\) converge vers un réel \(\ell\). Dans ce cas :

\[1+\frac{n}{u_n}=1+\frac{n}{\sqrt{n}+\ell+o(1)}=1+\sqrt{n}\frac{1}{1+\frac{\ell}{\sqrt{n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}= 1+\sqrt{n}\left(1-\frac{\ell}{\sqrt{n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)=\sqrt{n}+1-\ell+o(1).\] D’autre part,

\[u_{n+1}=\sqrt{n+1}+\ell+o(1)=\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/2}+\ell+o(1)=\sqrt{n}+\ell+o(1),\] et donc \(\ell-(1-\ell)=o(1)\) ou encore \(2\ell-1=0\). Donc, si la suite \((u_n-\sqrt{n})_{n\geq1}\) converge vers un réel \(\ell\), alors \(\ell=\frac{1}{2}\). Il reste à démontrer que la suite \((u_n-\sqrt{n})_{n\geq1}\) converge. On note que pour tout entier naturel non nul,

\[u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n}(-u_n^2+u_n+n)=\frac{1}{u_n}\left(\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n+1})-u_n\right)\left(u_n-\frac{1}{2} (1-\sqrt{4n+1})\right).\] Montrons par récurrence que pour \(n\geq1\), \(\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n-3})\leq u_n\leq\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n+1})\). Posons \(v_n=\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n-3})\) et \(w_n=\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n+1})\).

Si \(n=1\), \(v_1=1\leq u_1=1\leq\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=w_1\).

Soit \(n\geq1\). Supposons que \(v_n\leq u_n\leq w_n\). Alors,

\[1+\frac{2n}{\sqrt{4n+1}+1}\leq u_{n+1}=1+\frac{n}{u_n}\leq1+\frac{2n}{\sqrt{4n-3}+1}.\]

Mais, pour \(n\geq1\),

\[\begin{align*} \mbox{sgn}(\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n+5})-&(1+\frac{2n}{\sqrt{4n-3}+1}))=\mbox{sgn}((1+\sqrt{4n+5})(1+\sqrt{4n-3})-2(2n+1+\sqrt{4n-3}))\\ &=\mbox{sgn}(\sqrt{4n+5}(1+\sqrt{4n-3})-(4n+1+\sqrt{4n-3}))\\ &=\mbox{sgn}((4n+5)(1+\sqrt{4n-3})^2-(4n+1+\sqrt{4n-3})^2)\;(\mbox{par croissance de}\;x\mapsto x^2\;\mbox{sur}\;[0,+\infty[)\\ &=\mbox{sgn}((4n+5)(4n-2+2\sqrt{4n-3})-((4n+1)^2+2(4n+1)\sqrt{4n-3}+4n-3))\\ &=\mbox{sgn}(-8+8\sqrt{4n-3}) =\mbox{sgn}(\sqrt{4n-3}-1) =\mbox{sgn}((4n-3)-1)=\mbox{sgn}(n-1)=+ \end{align*}\]

Donc, \(u_{n+1}\leq 1+1+\frac{2n}{\sqrt{4n-3}+1}\leq w_{n+1}\).

D’autre part,

\[1+\frac{2n}{\sqrt{4n+1}+1}=\frac{2n+1+\sqrt{4n+1}}{\sqrt{4n+1}+1}=\frac{(\sqrt{4n+1}+1)^2}{2(\sqrt{4n+1}+1)} =\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n+1})=v_{n+1},\]

et donc \(v_{n+1}\leq u_{n+1}\leq w_{n+1}\).

On a montré par récurrence que

\[\forall n\in\Nn^*,\;\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n-3})\leq u_n\leq\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n+1}),\]

(ce qui montre au passage que \(u\) est croissante).

Donc, pour \(n\geq1\),

\[\frac{1}{2}+\sqrt{n-\frac{3}{4}}-\sqrt{n}\leq u_n-\sqrt{n}\leq\frac{1}{2}+\sqrt{n+\frac{1}{4}}-\sqrt{n},\]

ou encore, pour tout \(n\geq1\),

\[\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\frac{1}{\sqrt{n-\frac{3}{4}}+\sqrt{n}}\leq u_n-\sqrt{n}\leq\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{n+\frac{1}{4}}+\sqrt{n}}.\]

Maintenant, comme les deux suites \((\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\frac{1}{\sqrt{n-\frac{3}{4}}+\sqrt{n}})\) et \((\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{n+\frac{1}{4}}+\sqrt{n}})\) convergent toutes deux vers \(\frac{1}{2}\), d’après le théorème de la limite par encadrements, la suite \((u_n-\sqrt{n})_{n\geq1}\) converge vers \(\frac{1}{2}\).

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