Tout d’abord , on montre facilement par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$ , $u_n$ existe et $u_n\geq1$ . Mais alors, pour tout entier naturel non nul $n$ , $1\leq u_{n+1}=1+\frac{n}{u_n}\leq1+n$ . Par suite, pour $n\geq2$ , $1\leq u_n\leq n$ , ce qui reste vrai pour $n=1$ .

$\forall n\in\Nn^*,\;1\leq u_n\leq n.$ Supposons momentanément que la suite $(u_n-\sqrt{n})_{n\geq1}$ converge vers un réel $\ell$ . Dans ce cas :

$\begin{align*} 1+\frac{n}{u_n} &= 1+\frac{n}{\sqrt{n}+\ell+o(1)} \\ &= 1+\sqrt{n}\frac{1}{1+\frac{\ell}{\sqrt{n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)} \\ &= 1+\sqrt{n}\left(1-\frac{\ell}{\sqrt{n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right) \\ &= \sqrt{n}+1-\ell+o(1). \end{align*}$ D’autre part,

$u_{n+1}=\sqrt{n+1}+\ell+o(1)=\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/2}+\ell+o(1)=\sqrt{n}+\ell+o(1),$ et donc $\ell-(1-\ell)=o(1)$ ou encore $2\ell-1=0$ . Donc, si la suite $(u_n-\sqrt{n})_{n\geq1}$ converge vers un réel $\ell$ , alors $\ell=\frac{1}{2}$ . Il reste à démontrer que la suite $(u_n-\sqrt{n})_{n\geq1}$ converge. On note que pour tout entier naturel non nul,

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n}(-u_n^2+u_n+n)=\frac{1}{u_n}\left(\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n+1})-u_n\right)\left(u_n-\frac{1}{2} (1-\sqrt{4n+1})\right).$ Montrons par récurrence que pour $n\geq1$ , $\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n-3})\leq u_n\leq\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n+1})$ . Posons $v_n=\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n-3})$ et $w_n=\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n+1})$ .

Si $n=1$ , $v_1=1\leq u_1=1\leq\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=w_1$ .

Soit $n\geq1$ . Supposons que $v_n\leq u_n\leq w_n$ . Alors,

$1+\frac{2n}{\sqrt{4n+1}+1}\leq u_{n+1}=1+\frac{n}{u_n}\leq1+\frac{2n}{\sqrt{4n-3}+1}.$

Mais, pour $n\geq1$ ,

$\begin{align*} \mbox{sgn}(\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n+5})-&(1+\frac{2n}{\sqrt{4n-3}+1}))=\mbox{sgn}((1+\sqrt{4n+5})(1+\sqrt{4n-3})-2(2n+1+\sqrt{4n-3}))\\ &=\mbox{sgn}(\sqrt{4n+5}(1+\sqrt{4n-3})-(4n+1+\sqrt{4n-3}))\\ &=\mbox{sgn}((4n+5)(1+\sqrt{4n-3})^2-(4n+1+\sqrt{4n-3})^2)\;(\mbox{par croissance de}\;x\mapsto x^2\;\mbox{sur}\;[0,+\infty[)\\ &=\mbox{sgn}((4n+5)(4n-2+2\sqrt{4n-3})-((4n+1)^2+2(4n+1)\sqrt{4n-3}+4n-3))\\ &=\mbox{sgn}(-8+8\sqrt{4n-3}) =\mbox{sgn}(\sqrt{4n-3}-1) =\mbox{sgn}((4n-3)-1)=\mbox{sgn}(n-1)=+ \end{align*}$

Donc, $u_{n+1}\leq 1+1+\frac{2n}{\sqrt{4n-3}+1}\leq w_{n+1}$ .

D’autre part,

$1+\frac{2n}{\sqrt{4n+1}+1}=\frac{2n+1+\sqrt{4n+1}}{\sqrt{4n+1}+1}=\frac{(\sqrt{4n+1}+1)^2}{2(\sqrt{4n+1}+1)} =\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n+1})=v_{n+1},$

et donc $v_{n+1}\leq u_{n+1}\leq w_{n+1}$ .

On a montré par récurrence que

$\forall n\in\Nn^*,\;\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n-3})\leq u_n\leq\frac{1}{2}(1+\sqrt{4n+1}),$

(ce qui montre au passage que $u$ est croissante).

Donc, pour $n\geq1$ ,

$\frac{1}{2}+\sqrt{n-\frac{3}{4}}-\sqrt{n}\leq u_n-\sqrt{n}\leq\frac{1}{2}+\sqrt{n+\frac{1}{4}}-\sqrt{n},$

ou encore, pour tout $n\geq1$ ,

$\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\frac{1}{\sqrt{n-\frac{3}{4}}+\sqrt{n}}\leq u_n-\sqrt{n}\leq\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{n+\frac{1}{4}}+\sqrt{n}}.$

Maintenant, comme les deux suites $(\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\frac{1}{\sqrt{n-\frac{3}{4}}+\sqrt{n}})$ et $(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{n+\frac{1}{4}}+\sqrt{n}})$ convergent toutes deux vers $\frac{1}{2}$ , d’après le théorème de la limite par encadrements, la suite $(u_n-\sqrt{n})_{n\geq1}$ converge vers $\frac{1}{2}$ .

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