1
Montrer que, si \(f~:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) est une fonction intégrable au sens de Riemann, on a : \[\begin{equation} \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)\,dt=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right). \end{equation}\] En déduire les limites suivantes : \[\begin{equation} a)\quad\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\tan\frac{k}{n} \quad\quad\quad b)\quad\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2} \quad\quad\quad c)\quad\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^{n}\log\left(\frac{n}{n+k}\right)^{\frac{1}{n}} \end{equation}\]