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L’aire du domaine considéré \(D=\{(x,y)\in\Rr^2/\;2p_1x\leqslant y^2\leqslant 2p_2x\;\text{et}\;2q_2y\leqslant x^2\leqslant2q_2x\}\) est

\(\mathcal{A}=\displaystyle\iint_{D}dxdy\).

Pour \((x,y)\in D^2\), posons \(p= \frac{y^2}{2x}\) et \(q= \frac{x^2}{2y}\) ou encore considérons l’application \(\begin{array}[t]{cccc} \varphi~:&D&\rightarrow&[p_1,p_2]\times[q_1,q_2]\\ &(x,y)&\mapsto&\left( \frac{y^2}{2x}, \frac{x^2}{2y}\right) \end{array}\) et vérifions que \(\varphi\) est un \(C^1\)-difféomorphisme.

Pour chaque \((x,y)\in D^2\), on \(2p_1x\leqslant y^2\leqslant 2p_2x\) et \(2q_1y\leqslant x^2\leqslant2q_2y\) ou encore \(p_1\leqslant \frac{y^2}{2x}\leqslant p_2\) et \(q_1\leqslant \frac{x^2}{2y}\leqslant q_2\). Donc \(\varphi\) est bien une application.

Soit \((p,q)\in[p_1,p_2]\times[q_1,q_2]\). Pour \((x,y)\in(]0,+\infty[)^2\),

\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{y^2}{2x}=p\\ \rule{0mm}{7mm} \frac{x^2}{2y}=q \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y= \frac{x^2}{2q}\\ \rule{0mm}{7mm} \frac{(x^2/2q)^2}{2x}=p \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=\sqrt[3]{8pq^2}\\ y=\sqrt[3]{8p^2q} \end{array} \right.\)

Donc, l’équation \(\varphi(x,y)=(p,q)\) a exactement une solution \((x_0,y_0)\) dans \(]0,+\infty[^2\). De plus, puisque \(\frac{y_0^2}{2x_0}=p\in[p_1,p_2]\) et \(\frac{x_0^2}{2y_0}=q\in[q_1,q_2]\), on a \(2p_1x_0\leqslant y_0^2\leqslant 2p_2x_0\) et \(2q_1y_0\leqslant x_0^2\leqslant 2q_2y_0\) et donc \((x_0,y_0)\in D^2\). Donc \(\varphi\) est une bijection.

\(\varphi\) est de classe \(C^1\) sur \(D\) et pour \((x,y)\in D^2\),

\(\frac{D(p,q)}{D(x,y)}=J(\varphi)(x,y)=\left| \begin{array}{cc} - \frac{y^2}{2x^2}& \frac{y}{x}\\ \frac{x}{y}&- \frac{x^2}{2y^2} \end{array} \right|= \frac{1}{4}-1=- \frac{3}{4}\neq0\).

Ainsi, \(\varphi\) est une bijection de \(D\) sur \([p_1,p_2]\times[q_1,q_2]\), de classe \(C^1\) sur \(D\) et son jacobien ne s’annule pas sur \(D\). On sait alors que \(\varphi\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(D\) sur \([p_1,p_2]\times[q_1,q_2]\).

Posons alors \((p,q)=\varphi(x,y)\) dans \(\displaystyle\iint_{D}dxdy\). On obtient

\(\mathcal{A}=\displaystyle\iint_{D}dxdy=\displaystyle\iint_{[p_1,p_2]\times[q_1,q_2]}\left| \frac{D(x,y)}{D(p,q)}\right|dpdq=\displaystyle \frac{4}{3}\iint_{[p_1,p_2]\times[q_1,q_2]}dpdq= \frac{4}{3}(p_2-p_1)(q_2-q_1)\).

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