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L’aire du domaine considéré $D=\{(x,y)\in\Rr^2/\;2p_1x\leqslant y^2\leqslant 2p_2x\;\text{et}\;2q_2y\leqslant x^2\leqslant2q_2x\}$ est

$\mathcal{A}=\displaystyle\iint_{D}dxdy$ .

Pour $(x,y)\in D^2$ , posons $p= \frac{y^2}{2x}$ et $q= \frac{x^2}{2y}$ ou encore considérons l’application $\begin{array}{cccc} \varphi~:&D&\rightarrow&[p_1,p_2]\times[q_1,q_2]\\ &(x,y)&\mapsto&\left( \frac{y^2}{2x}, \frac{x^2}{2y}\right) \end{array}$ et vérifions que $\varphi$ est un $C^1$ -difféomorphisme.

Pour chaque $(x,y)\in D^2$ , on $2p_1x\leqslant y^2\leqslant 2p_2x$ et $2q_1y\leqslant x^2\leqslant2q_2y$ ou encore $p_1\leqslant \frac{y^2}{2x}\leqslant p_2$ et $q_1\leqslant \frac{x^2}{2y}\leqslant q_2$ . Donc $\varphi$ est bien une application.

Soit $(p,q)\in[p_1,p_2]\times[q_1,q_2]$ . Pour $(x,y)\in(]0,+\infty[)^2$ ,

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{y^2}{2x}=p\\ \rule{0mm}{7mm} \frac{x^2}{2y}=q \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y= \frac{x^2}{2q}\\ \rule{0mm}{7mm} \frac{(x^2/2q)^2}{2x}=p \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=\sqrt[3]{8pq^2}\\ y=\sqrt[3]{8p^2q} \end{array} \right.$

Donc, l’équation $\varphi(x,y)=(p,q)$ a exactement une solution $(x_0,y_0)$ dans $]0,+\infty[^2$ . De plus, puisque $\frac{y_0^2}{2x_0}=p\in[p_1,p_2]$ et $\frac{x_0^2}{2y_0}=q\in[q_1,q_2]$ , on a $2p_1x_0\leqslant y_0^2\leqslant 2p_2x_0$ et $2q_1y_0\leqslant x_0^2\leqslant 2q_2y_0$ et donc $(x_0,y_0)\in D^2$ . Donc $\varphi$ est une bijection.

$\varphi$ est de classe $C^1$ sur $D$ et pour $(x,y)\in D^2$ ,

$\frac{D(p,q)}{D(x,y)}=J(\varphi)(x,y)=\left| \begin{array}{cc} - \frac{y^2}{2x^2}& \frac{y}{x}\\ \frac{x}{y}&- \frac{x^2}{2y^2} \end{array} \right|= \frac{1}{4}-1=- \frac{3}{4}\neq0$ .

Ainsi, $\varphi$ est une bijection de $D$ sur $[p_1,p_2]\times[q_1,q_2]$ , de classe $C^1$ sur $D$ et son jacobien ne s’annule pas sur $D$ . On sait alors que $\varphi$ est un $C^1$ -difféomorphisme de $D$ sur $[p_1,p_2]\times[q_1,q_2]$ .

Posons alors $(p,q)=\varphi(x,y)$ dans $\displaystyle\iint_{D}dxdy$ . On obtient

$\mathcal{A}=\displaystyle\iint_{D}dxdy=\displaystyle\iint_{[p_1,p_2]\times[q_1,q_2]}\left| \frac{D(x,y)}{D(p,q)}\right|dpdq=\displaystyle \frac{4}{3}\iint_{[p_1,p_2]\times[q_1,q_2]}dpdq= \frac{4}{3}(p_2-p_1)(q_2-q_1)$ .

$\mathcal{A}= \frac{4}{3}(p_2-p_1)(q_2-q_1)$ .

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