L1 Algèbre Application linéaire Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 935

Soit EE l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à nn. Pour p≤np\leq n on note epe_p le polynôme x↦xpx\mapsto x^p. Soit ff l’application définie sur EE par f(P)=Qf(P)=Q avec Q(x)=P(x+1)+P(x−1)−2P(x)Q(x)=P(x+1)+P(x-1)-2P(x).

1

Montrer que ff est une application linéaire de EE dans EE.

2

Calculer f(ep)f(e_p) ; quel est son degré ? En déduire ker⁡f\ker f, Im f\mbox{Im }f et le rang de ff.

3

Soit QQ un polynôme de Im f\mbox{Im }f ; montrer qu’il existe un polynôme unique PP tel que : f(P)=Qf(P)=Q et P(0)=P′(0)=0P(0)=P'(0)=0.

Exercice eEPr

Signaler une erreur

  1. Problème
  2. Précisions
  3. Envoi
Quel est le problème ?