Soit \(E\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\). Pour \(p\leq n\) on note \(e_p\) le polynôme \(x\mapsto x^p\). Soit \(f\) l’application définie sur \(E\) par \(f(P)=Q\) avec \(Q(x)=P(x+1)+P(x-1)-2P(x)\).
1
Montrer que \(f\) est une application linéaire de \(E\) dans \(E\).
2
Calculer \(f(e_p)\) ; quel est son degré ? En déduire \(\ker f\), \(\mbox{Im }f\) et le rang de \(f\).
3
Soit \(Q\) un polynôme de \(\mbox{Im }f\) ; montrer qu’il existe un polynôme unique \(P\) tel que : \(f(P)=Q\) et \(P(0)=P'(0)=0\).