Pour \(\alpha\in\Rr\), résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(z^2-2\cos(\alpha)z+1=0.\) En déduire la forme trigonométrique des solutions de l’équation : \[z^{2n}-2\cos(\alpha)z^n+1=0,\hbox{ où $n$ est un entier naturel non nul.}\] \[P_\alpha(z)=z^{2n}-2\cos(\alpha)z^n+1.\]
Justifier la factorisation suivante de \(P_\alpha\) : \[P_\alpha(z)=\left(z^2-2\cos\left(\frac{\alpha}{n}\right)+1\right) \left(z^2-2\cos\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2\pi}{n}\right)+1\right) \dots\left(z^2-2\cos \left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2(n-1)\pi}{n}\right)+1\right).\]
Prouver, à l’aide des nombres complexes par exemple, la formule suivante : \[1-\cos\theta=2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right),\quad\theta\in\Rr.\]
Calculer \(P_\alpha(1)\). En déduire \[\sin^2\left(\frac{\alpha}{2n}\right)\sin^2 \left(\frac{\alpha}{2n}+\frac{\pi}{n}\right)\dots\sin^2 \left(\frac{\alpha}{2n}+\frac{(n-1)\pi}{n}\right)= \frac{\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4^{n-1}}.\]