exo7 38

Pour $\alpha\in\Rr$, résoudre dans $\Cc$ l’équation $z^2-2\cos(\alpha)z+1=0.$ En déduire la forme trigonométrique des solutions de l’équation : $$z^{2n}-2\cos(\alpha)z^n+1=0,\hbox{ où $n$ est un entier naturel non nul.}$$ $$P_\alpha(z)=z^{2n}-2\cos(\alpha)z^n+1.$$

Justifier la factorisation suivante de $P_\alpha$ : $$P_\alpha(z)=\left(z^2-2\cos\left(\frac{\alpha}{n}\right)+1\right) \left(z^2-2\cos\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2\pi}{n}\right)+1\right) \dots\left(z^2-2\cos \left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2(n-1)\pi}{n}\right)+1\right).$$

Prouver, à l’aide des nombres complexes par exemple, la formule suivante : $$1-\cos\theta=2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right),\quad\theta\in\Rr.$$

Calculer $P_\alpha(1)$. En déduire $$\sin^2\left(\frac{\alpha}{2n}\right)\sin^2 \left(\frac{\alpha}{2n}+\frac{\pi}{n}\right)\dots\sin^2 \left(\frac{\alpha}{2n}+\frac{(n-1)\pi}{n}\right)= \frac{\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4^{n-1}}.$$