L2 Algèbre Déterminant, système linéaire Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa BCPST 3 questions

exo7 3434

On considère un système linéaire homogène : $(S) \iff AX = 0$ , avec $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $n < p$ et $\mathrm{rg} A = n$ .

Montrer qu’on peut compléter $A$ en une matrice $B = \begin{pmatrix} A \cr A' \cr \end{pmatrix}$ inversible.

Montrer que les colonnes $n+1$ à $p$ de ${}^{t\!}\text{com}\, B$ constituent une base des solutions de $(S)$ .

Considérer l’exemple suivant : $(S) \iff \left\{ \begin{array} {lllllllll} x &+& 2y &+& 3z &+& 4t &=& 0 \cr 2x &+& 3y &+& 4z &+& 5t &=& 0. \cr \end{array} \right.$