On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\), \(n < p\) et \(\mathrm{rg} A = n\).
1
Montrer qu’on peut compléter \(A\) en une matrice \(B = \begin{pmatrix} A \cr A' \cr \end{pmatrix}\) inversible.
2
Montrer que les colonnes \(n+1\) à \(p\) de \({}^{t\!}\text{com}\, B\) constituent une base des solutions de \((S)\).
3
Considérer l’exemple suivant : \[(S) \iff \left\{ \begin{array} {lllllllll} x &+& 2y &+& 3z &+& 4t &=& 0 \cr 2x &+& 3y &+& 4z &+& 5t &=& 0. \cr \end{array} \right.\]