Raisonnement par l’absurde : \(a\) est racine multiple ssi \(P(a)=P^{\prime}(a)=0\). On a : \[\begin{aligned} & P(X)=1+X+\frac{X^2}{2 !}+\ldots+\frac{X^{n-1}}{(n-1) !}+\frac{X^n}{n !} \\ & P^{\prime}(X)=1+X+\frac{X^2}{2 !}+\ldots+\frac{X^{n-1}}{(n-1) !} \\ & \left.\begin{array}{l} P(a)=0 \quad \Leftrightarrow 1+a+\frac{a^2}{2 !}+\ldots+\frac{a^{n-1}}{(n-1) !}+\frac{a^n}{n !}=0 \\ P^{\prime}(a)=0 \Leftrightarrow 1+a+\frac{a^2}{2 !}+\ldots+\frac{a^{n-1}}{(n-1) !}=0 \end{array}\right\} \Rightarrow \frac{a^n}{n !}=0 \Leftrightarrow a=0 \\ & \end{aligned}\] or 0 n’est pas racine car \(P(0)=1\), donc \(a\) ne peut pas être racine simultanément de \(P\) et \(P^{\prime}\). \(a\) ne peut pas être racine multiple.

Racine multiple