Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et \(f \in \mathcal{L}(E)\). On suppose qu’il existe un vecteur \(\vec u \in E\) tel que la famille \(\bigl(f^k(\vec u)\bigr)_{k \in \N}\) engendre \(E\).
1
Montrer que \(\bigl(\vec u, f(\vec u), \dots, f^{n-1}(\vec u)\bigr)\) est une base de \(E\). (Considérer \(p\) maximal tel que \({\cal F} = \bigl(\vec u,\dots, f^{p-1}(\vec u)\bigr)\) est libre, et prouver que \(f^k(\vec u)\) est combinaison linéaire de \(\cal F\) pour tout entier \(k\))
2
Montrer qu’un endomorphisme \(g \in \mathcal{L}(E)\) commute avec \(f\) si et seulement si c’est un polynôme en \(f\).