L1 Algèbre Application linéaire Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa BCPST 2 questions

exo7 3346

Soit $E$ un ev de dimension $n$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ . On suppose qu’il existe un vecteur $\vec u \in E$ tel que la famille $\bigl(f^k(\vec u)\bigr)_{k \in \N}$ engendre $E$ .

Montrer que $\bigl(\vec u, f(\vec u), \dots, f^{n-1}(\vec u)\bigr)$ est une base de $E$ . (Considérer $p$ maximal tel que ${\cal F} = \bigl(\vec u,\dots, f^{p-1}(\vec u)\bigr)$ est libre, et prouver que $f^k(\vec u)$ est combinaison linéaire de $\cal F$ pour tout entier $k$ )

Montrer qu’un endomorphisme $g \in \mathcal{L}(E)$ commute avec $f$ si et seulement si c’est un polynôme en $f$ .