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Soit $(F_n)_n$ une suite décroissante de fermés de $X$ et soit $(x_n)_n$ une suite convergente telle que $x_n\in F_n$ pour tout $n\geq 0$. Montrer que $$\lim _{n\rightarrow \infty} x_n \in \bigcap _{n\geq 0} F_n\;\; .$$ Donner un exemple pour lequel $\bigcap _{n\geq 0} F_n =\emptyset$.

Soit maintenant $(K_n)_n$ une suite décroissante de compacts non vides de $X$. Vérifier que $K=\bigcap_{n\geq 0} K_n$ est non vide et que tout ouvert $\Omega$ qui contient $K$ contient tous les $K_n$ à partir d’un certain rang.