Soit \(X\) un espace métrique.
1
Soit \((F_n)_n\) une suite décroissante de fermés de \(X\) et soit \((x_n)_n\) une suite convergente telle que \(x_n\in F_n\) pour tout \(n\geq 0\). Montrer que \[\lim _{n\rightarrow \infty} x_n \in \bigcap _{n\geq 0} F_n\;\; .\] Donner un exemple pour lequel \(\bigcap _{n\geq 0} F_n =\emptyset\).
2
Soit maintenant \((K_n)_n\) une suite décroissante de compacts non vides de \(X\). Vérifier que \(K=\bigcap_{n\geq 0} K_n\) est non vide et que tout ouvert \(\Omega\) qui contient \(K\) contient tous les \(K_n\) à partir d’un certain rang.