Soit \(E\) un ensemble non vide. On considère les relations sur \(F = E^E\): \[\begin{align*} f \sim g &\iff \exists\ n \in \N^* \text{ tq } f^n = g^n,\cr f \approx g &\iff \exists\ m,n \in \N^* \text{ tq } f^n = g^m,\cr f \equiv g &\iff f(E) = g(E). \end{align*}\]
Montrer que \(\sim\), \(\approx\), \(\equiv\) sont des relations d’équivalence.
Pour \(f \in F\), on note \(f^\sim\), \(f^\approx\), \(f^\equiv\) les classes d’équivalence de \(f\) modulo \(\sim\), \(\approx\), \(\equiv\).
Comparer \(f^\sim\), \(f^\approx\).
Montrer que toute classe d’équivalence pour \(\approx\) est réunion de classes d’équivalence pour \(\sim\).
Que pouvez-vous dire de \(f\) s’il existe \(g \in f^\approx\) injective ? surjective ?
Même question avec \(f^\equiv\).