Pour \(x\) réel, on sait que \(F(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{n!}\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}\right)\).

La fonction \(F\) est impaire donc les coefficients d’indices pairs sont nuls. D’autre part, pour \(n\in\Nn\), le coefficient de \(x^{2n+1}\) du produit de des deux séries précédentes vaut

\(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!(2k+1)}\times\frac{(-1)^{n-k}}{(n-k)!}\).

La méthode choisie fournit classiquement une expression compliquée des coefficients.

On peut aussi obtenir \(F\) comme solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre. \(F\) est dérivable sur \(\Rr\) et pour tout réel \(x\), \(F'(x) =-2xe^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt+1=-2xF(x)+1\).

\(F\) est uniquement déterminée par les conditions \(F'+ 2xF= 1\) et \(F(0) = 0\)(*). \(F\) est développable en série entière sur \(\Rr\) d’après le début de l’exercice et impaire. Pour \(x\) réel, posons donc \(F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{2n+1}\).

\[\begin{align*}\ensuremath (*)&\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;\sum_{n=0}^{+\infty}(2n+1)a_nx^{2n}+ 2\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{2n+2}=1\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}((2n+1)a_n+ 2a_{n-1})x^{2n}= 1\\ &\Leftrightarrow a_0 = 1\;\text{et}\;\forall n\geqslant1,\;(2n+1)a_n+ 2a_{n-1}=0\Leftrightarrow a_0 = 1\;\text{et}\;\forall n\geqslant1,\;a_n =-\frac{2}{2n+1}a_{n-1}\\ &a_0 = 1\;\text{et}\;\forall n\geqslant1,\;a_n =\frac{(-1)^n2^n}{(2n+1)(2n-1)\ldots1}a_0\\ &\Leftrightarrow\forall n\in\Nn,\;\frac{(-1)^n2^{2n}n!}{(2n+1)!}. \end{align*}\]

On a montré que pour tout réel \(x\), \(F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n2^{2n}n!}{(2n+1)!}x^{2n+1}\). Par unicité des coefficients d’une série entière, \(\forall n\in\Nn\), on obtient en particulier,

\(\forall n\in\Nn\), \(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!(2k+1)}\times\frac{(-1)^{n-k}}{(n-k)!}=\frac{(-1)^n2^{2n}n!}{(2n+1)!}\).

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