exo7 6261

Soit $a$ un point de $\Omega$. Si $f$ est différentiable dans $\Omega \setminus \{a\}$ et si l’application $x\in \Omega \setminus \{a\} \mapsto Df(x)$ admet une limite $T\in {\cal L} (E,F)$ quand $x$ tend vers $a$ dans $\Omega$, montrer que $f$ est différentiable au point $a$ et que $Df(a)=T$ (appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction $g: x\mapsto f(x) -T(x)$).

Supposons $f$ différentiable dans $\Omega$. Montrer que $Df:\Omega \to {\cal L}(E,F)$ est continue en $a\in \Omega$ si et seulement si, pour tout $\epsilon >0$, il existe $\delta >0$ tel que $$\|f(a+h)-f(a+k) -Df(a) (h-k) \| \leq \epsilon \| h-k \| \quad \text{si} \;\; \|h \| <\delta \; et \; \|k\| <\delta \; .$$

Supposons maintenant qu’il existe une application continue $x\in \Omega \mapsto T_x \in {\cal L} (E,F)$ telle que pour tout $x\in \Omega$ et tout $h\in E$ $$\lim_{t\to 0 , t\neq 0} \frac{f(x+th)-f(x)}{t} =T_x (h) \; .$$ Montrer que $f$ est de classe ${\cal C}^1$ et que $Df(x)=T_x$ pour tout $x\in \Omega$. (On pourra considérer la fonction $g(t) = f(x+th)-tT_x (h)$.)