Soient \(E,F\) des espaces normés, \(\Omega\) un ouvert de \(E\) et \(f:\Omega \to F\) une application continue.
Soit \(a\) un point de \(\Omega\). Si \(f\) est différentiable dans \(\Omega \setminus \{a\}\) et si l’application \(x\in \Omega \setminus \{a\} \mapsto Df(x)\) admet une limite \(T\in {\cal L} (E,F)\) quand \(x\) tend vers \(a\) dans \(\Omega\), montrer que \(f\) est différentiable au point \(a\) et que \(Df(a)=T\) (appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction \(g: x\mapsto f(x) -T(x)\)).
Supposons \(f\) différentiable dans \(\Omega\). Montrer que \(Df:\Omega \to {\cal L}(E,F)\) est continue en \(a\in \Omega\) si et seulement si, pour tout \(\epsilon >0\), il existe \(\delta >0\) tel que \[\|f(a+h)-f(a+k) -Df(a) (h-k) \| \leq \epsilon \| h-k \| \quad \text{si} \;\; \|h \| <\delta \; et \; \|k\| <\delta \; .\]
Supposons maintenant qu’il existe une application continue \(x\in \Omega \mapsto T_x \in {\cal L} (E,F)\) telle que pour tout \(x\in \Omega\) et tout \(h\in E\) \[\lim_{t\to 0 , t\neq 0} \frac{f(x+th)-f(x)}{t} =T_x (h) \; .\] Montrer que \(f\) est de classe \({\cal C}^1\) et que \(Df(x)=T_x\) pour tout \(x\in \Omega\). (On pourra considérer la fonction \(g(t) = f(x+th)-tT_x (h)\).)