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Montrer qu’il existe une suite de polynômes $(P_n)_{n\in\Nn}$ telle que pour tout entier naturel $n$, $f^{(n)}= P_n\circ f$ et que les $P_n$ sont à coefficients entiers naturels. (Utiliser $\tan' = 1+\tan^2$).

En utilisant la formule de Taylor-Laplace, montrer que la série de Taylor à l’origine de $f$ a un rayon de convergence $R$ supérieur ou égal à $\frac{\pi}{2}$.

On note $a_n$ les coefficients du développement précédent et $g$ la somme de la série entière associée à la suite $(a_n)_{n\in\Nn}$. Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, $(n+1)a_{n+1}= \sum_{k=0}^{n}a_ka_{n-k}$. En déduire que pour tout $x$ de $\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$, $f(x) = g(x)$ et que $R=\frac{\pi}{2}$.

Calculer $a_0$, $a_1$, $a_2$,..., $a_7$.

Vérifier que la fonction $x\mapsto\tanh x$ est développable en série entière. Préciser le rayon et la valeur des coefficients en fonction des $a_n$.