Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on pose \(f(x) =\tan x\).
Montrer qu’il existe une suite de polynômes \((P_n)_{n\in\Nn}\) telle que pour tout entier naturel \(n\), \(f^{(n)}= P_n\circ f\) et que les \(P_n\) sont à coefficients entiers naturels. (Utiliser \(\tan' = 1+\tan^2\)).
En utilisant la formule de Taylor-Laplace, montrer que la série de Taylor à l’origine de \(f\) a un rayon de convergence \(R\) supérieur ou égal à \(\frac{\pi}{2}\).
On note \(a_n\) les coefficients du développement précédent et \(g\) la somme de la série entière associée à la suite \((a_n)_{n\in\Nn}\). Montrer que pour tout entier naturel non nul \(n\), \((n+1)a_{n+1}= \sum_{k=0}^{n}a_ka_{n-k}\). En déduire que pour tout \(x\) de \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), \(f(x) = g(x)\) et que \(R=\frac{\pi}{2}\).
Calculer \(a_0\), \(a_1\), \(a_2\),..., \(a_7\).
Vérifier que la fonction \(x\mapsto\tanh x\) est développable en série entière. Préciser le rayon et la valeur des coefficients en fonction des \(a_n\).