L1 Algèbre Matrice Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSI 2 questions

exo7 1105

Soit E=vect(AB−BA,(A,B)∈Mn(Q)2)E = \text{vect} (AB-BA, (A, B)\in M_n (\Qq)^2).

1

Montrer que E=ker⁡trE = \ker \text{tr} (pour l’inclusion non triviale, on trouvera une base de ker⁡tr\ker \text{tr} formée de matrices de la forme AB−BAAB-BA).

2

Soit f∈Mn(Q)∗f \in M_n (\Qq)^* telle que ∀(A,B)∈Mn(Q)2\forall (A, B)\in M_n (\Qq)^2 f(AB)=f(BA)f (AB) = f (BA). Montrer qu’il existe α∈R\alpha \in \Rr tel que f=αtrf = \alpha \text{tr}.

Exercice gUm6

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