Notons $A=(a_{ij})$ , notons $B = {}^{t}\!{A}$ si les coefficients sont $B=(b_{ij})$ alors par définition de la transposée on a $b_{ij}= a_{ji}$ .

Ensuite notons $C = A \times B$ alors par définition du produit de matrices le coefficients $c_{ij}$ de $C$ s’obtient par la formule : $c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}.$

Appliquons ceci avec $B = {}^{t}\!{A}$ $c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = \sum_{k=1}^n a_{ik}a_{jk}.$ Et pour un coefficient de la diagonale on a $i=j$ donc $c_{ii} = \sum_{k=1}^n a_{ik}^2.$

La trace étant la somme des coefficients sur la diagonale on a : $\text{tr} (A \ {}^{t}\!{A}) = \text{tr} (C) = \sum_{i=1}^n c_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}^2 = \sum_{1\le i,k \le n} a_{ik}^2.$

Si on change l’indice $k$ en $j$ on obtient $\text{tr} (A \ {}^{t}\!{A}) = \sum_{1\le i,j \le n} a_{ij}^2.$

Donc cette trace vaut la somme des carrés de tous les coefficients.

Conséquence : si $\text{tr} (A \ {}^{t}\!{A}) = 0$ alors la somme des carrés $\sum_{1\le i,j \le n} a_{ij}^2$ est nulle donc chaque carré $a_{ij}^2$ est nul. Ainsi $a_{ij}=0$ (pour tout $i,j$ ) autrement dit $A$ est la matrice nulle.

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