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Soit $K$ un corps fini de cardinal $n$ . Si $a,b\in \N$ sont tels que $ab = n-1$ , on considère l’application ${f_a} : { K^*} \to { K^*}, x \mapsto {x^a}$ (remarquer que $f_a$ est un morphisme de groupe). On note $N_a = \mathrm{Card}\,(\mathrm{Ker} f_a)$ .

Expliquer pourquoi $N_a \le a$ .

Montrer que $\Im(f_a) \subset \mathrm{Ker} f_b$ . En déduire que $N_a = a$ et $N_b=b$ .

Soit $\varphi$ l’indicateur d’Euler. Montrer par récurrence sur $a$ , diviseur de $n-1$ , que le nombre d’éléments de $K^*$ d’ordre $a$ est égal à $\varphi(a)$ (ceci prouve que $K^*$ est cyclique).

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