Soit \(K\) un corps fini de cardinal \(n\). Si \(a,b\in \N\) sont tels que \(ab = n-1\), on considère l’application \({f_a} : { K^*} \to { K^*}, x \mapsto {x^a}\) (remarquer que \(f_a\) est un morphisme de groupe). On note \(N_a = \mathrm{Card}\,(\mathrm{Ker} f_a)\).
1
Expliquer pourquoi \(N_a \le a\).
2
Montrer que \(\Im(f_a) \subset \mathrm{Ker} f_b\). En déduire que \(N_a = a\) et \(N_b=b\).
3
Soit \(\varphi\) l’indicateur d’Euler. Montrer par récurrence sur \(a\), diviseur de \(n-1\), que le nombre d’éléments de \(K^*\) d’ordre \(a\) est égal à \(\varphi(a)\) (ceci prouve que \(K^*\) est cyclique).