Soit \(f\in\Rr^\Rr\). On suppose que \(\forall(x,y)\in\Rr^2\) \(f(x+y) = f(x)+f(y)\). Soit \(a = f(1)\).

\(x=y=0\) fournit \(f(0) = 0 = a\times0\).

Soit \(n\in \Nn^*\) et \(x\in\Rr\). \(f(nx) = f(x+...+x) = f(x)+...+f(x) = nf(x)\). Ceci reste vrai pour \(n=0\).

En particulier \(x = 1\) fournit pour tout entier naturel non nul \(n\), \(f(n) = nf(1) = an\) puis \(x = \frac{1}{n}\) fournit

\(nf\left( \frac{1}{n}\right) = f(1) = a\) et donc \(f\left( \frac{1}{n}\right) = \frac{a}{n}\).

Ensuite, \(\forall(p,q)\in(\Nn\times\Nn^*)^2\), \(f\left( \frac{p}{q}\right) = pf\left( \frac{1}{q}\right)=a \frac{p}{q}\).

Soit \(x\in\Rr\). L’égalité \(f(x)+f(-x)=f(0)=0\) fournit \(f(-x)=-f(x)\).

En particulier, \(\forall(p,q)\in(\Nn^*)^2\), \(f\left(- \frac{p}{q}\right) = -f\left( \frac{p}{q}\right)= - a \frac{p}{q}\).

En résumé, si \(f\) est morphisme du groupe \((\Rr,+)\) dans lui-même, \(\forall r\in\Qq\), \(f(r) = ar\) où \(a = f(1)\).

Si de plus \(f\) est continue sur \(\Rr\), les deux applications \(f~:~x\mapsto f(x)\) et \(g~:~x\mapsto ax\) sont continues sur \(\Rr\) et coïncident sur \(\Qq\) qui est dense dans \(\Rr\). D’après le 1), \(f = g\) ou encore \(\forall x\in\Rr\), \(f(x)=ax\) où \(a=f(1)\).

Réciproquement, toute application linéaire \(x\mapsto ax\) est en particulier un morphisme du groupe \((\Rr,+)\) dans lui-même, continu sur \(\Rr\).

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