Soit $f\in\Rr^\Rr$ . On suppose que $\forall(x,y)\in\Rr^2$ $f(x+y) = f(x)+f(y)$ . Soit $a = f(1)$ .

$x=y=0$ fournit $f(0) = 0 = a\times0$ .

Soit $n\in \Nn^*$ et $x\in\Rr$ . $f(nx) = f(x+...+x) = f(x)+...+f(x) = nf(x)$ . Ceci reste vrai pour $n=0$ .

En particulier $x = 1$ fournit pour tout entier naturel non nul $n$ , $f(n) = nf(1) = an$ puis $x = \frac{1}{n}$ fournit

$nf\left( \frac{1}{n}\right) = f(1) = a$ et donc $f\left( \frac{1}{n}\right) = \frac{a}{n}$ .

Ensuite, $\forall(p,q)\in(\Nn\times\Nn^*)^2$ , $f\left( \frac{p}{q}\right) = pf\left( \frac{1}{q}\right)=a \frac{p}{q}$ .

Soit $x\in\Rr$ . L’égalité $f(x)+f(-x)=f(0)=0$ fournit $f(-x)=-f(x)$ .

En particulier, $\forall(p,q)\in(\Nn^*)^2$ , $f\left(- \frac{p}{q}\right) = -f\left( \frac{p}{q}\right)= - a \frac{p}{q}$ .

En résumé, si $f$ est morphisme du groupe $(\Rr,+)$ dans lui-même, $\forall r\in\Qq$ , $f(r) = ar$ où $a = f(1)$ .

Si de plus $f$ est continue sur $\Rr$ , les deux applications $f~:~x\mapsto f(x)$ et $g~:~x\mapsto ax$ sont continues sur $\Rr$ et coïncident sur $\Qq$ qui est dense dans $\Rr$ . D’après le 1), $f = g$ ou encore $\forall x\in\Rr$ , $f(x)=ax$ où $a=f(1)$ .

Réciproquement, toute application linéaire $x\mapsto ax$ est en particulier un morphisme du groupe $(\Rr,+)$ dans lui-même, continu sur $\Rr$ .

Les morphismes continus du groupe $(\Rr,+)$ dans lui-même sont les applications linéaires $x\mapsto ax$ , $a\in\Rr$ .

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