La réunion \(\cup_n B_n\) d’une suite de parties fermées \(B_n\) de \(\R^2\) n’est pas nécessairement une partie fermée de \(\R^2\). Car le complémentaire \(\mathcal C(\cup_n B_n)\) de \(\cup_n B_n\) est l’intersection \(\cap_n \mathcal CB_n\) des complémentaires et c’est donc l’intersection d’une suite \(\left (\mathcal C B_n\right)\) de parties ouvertes de \(\R^2\) qui, d’après (1.), n’est pas nécessairement une partie ouverte de \(\R^2\). De même, l’intersection \(\cap_n B_n\) d’une suite de parties fermées \(B_n\) de \(\R^2\) est bien une partie fermée de \(\R^2\). Car le complémentaire \(\mathcal C(\cap_n B_n)\) de \(\cap_n B_n\) est la réunion \(\cup_n \mathcal CB_n\) des complémentaires et c’est donc la réunion d’une suite \(\left(\mathcal C B_n\right)\) de parties ouvertes de \(\R^2\) qui, d’après (1.), est une partie ouverte de \(\R^2\).

exo7 2619