$\forall A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ , $\|A\|_\infty=\text{Max}\{|a_{i,j}|,\;1\leqslant i,j\leqslant n\}$ .

Soient $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ et $B=(b_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ . Posons $AB=(c_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ où $\forall(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2$ , $c_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}$ .

Pour $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2$ ,

$|c_{i,j}|\leqslant\sum_{k=1}^{n}|a_{i,k}||b_{k,j}|\leqslant\sum_{k=1}^{n}\|A\|_\infty\|B\|_\infty=n\|A\|_\infty\|B\|_\infty$ ,

et donc, $\|AB\|_\infty\leqslant n\|A\|_\infty\|B\|_\infty$ . Ainsi, $\forall(A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Cc)\setminus\{0\})^2$ , $\frac{\|AB\|_\infty}{\|A\|_\infty\|B\|_\infty}\leqslant n$ .

De plus, pour $A_0=B_0=(1)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\neq0$ , $\|A_0\|_\infty=\|B_0\|_\infty=1$ puis $\|A_0B_0\|_\infty=\|nA_0\|_\infty=n$ et donc $\frac{\|A_0B_0\|_\infty}{\|A_0\|_\infty\|B_0\|_\infty}=n$ . Ceci montre que

$\text{Sup}\left\{ \frac{\|AB\|_\infty}{\|A\|_\infty\|B\|_\infty},\;(A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Cc)\setminus\{0\})^2\right\}=n$ .

En particulier, $\|\;\|_\infty$ n’est pas une norme sous-multiplicative.

$\forall A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ , $\|A\|_1=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}|a_{i,j}|$ . Avec les notations précédentes,

$\begin{align*}\ensuremath \|AB\|_1&=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}|c_{i,j}|=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}\left|\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right|\\ &\leqslant\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{i,k}||b_{k,j}|\right)=\sum_{1\leqslant i,j,k\leqslant n}^{}|a_{i,k}||b_{k,j}|\\ &\sum_{1\leqslant i,j,k,l\leqslant n}^{}|a_{i,j}||b_{k,l}|=\|A\|_1\|B\|_1. \end{align*}$

Donc $\forall(A,B)\in\left(\mathcal{M}_n(\Rr)\setminus\{0\}\right)^2$ , $\frac{\|AB\|_1}{\|A\|_1\|B\|_1}\leqslant 1$ .

De plus, pour $A_0=B_0=E_{1,1}$ , on a $A_0B_=E_{1,1}$ et donc $\frac{\|A_0B_0\|_1}{\|A_0\|_1\|B_0\|_1}=1$ . Ceci montre que

$\text{Sup}\left\{ \frac{\|AB\|_1}{\|A\|_1\|B\|_1},\;(A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Cc)\setminus\{0\})^2\right\}=1$ .

En particulier, $\|\;\|_1$ est une norme sous-multiplicative.

$\forall A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ , $\|A\|_2=\sqrt{\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}a_{i,j}^2}$ . Avec les notations précédentes,

$\begin{align*}\ensuremath \|AB\|_2^2&=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}c_{i,j}^2=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right)^2\\ &\leqslant\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_{k,j}^2\right)\;(\text{inégalité de \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz}})\\ &=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}^2\right)\left(\sum_{l=1}^{n}b_{l,j}^2\right)=\sum_{1\leqslant i,j,k,l\leqslant n}^{}a_{i,k}^2b_{l,j}^2=\left(\sum_{1\leqslant i,k\leqslant n}^{}a_{i,k}^2\right)\left(\sum_{1\leqslant j,l\leqslant n}^{}b_{l,j}^2\right)=\|A\|_2\|B\|_2 \end{align*}$

Donc $\forall(A,B)\in\left(\mathcal{M}_n(\Rr)\setminus\{0\}\right)^2$ , $\frac{\|AB\|_2}{\|A\|_2\|B\|_2}\leqslant 1$ .

De plus, pour $A_0=B_0=E_{1,1}$ , on a $A_0B_=E_{1,1}$ et donc $\frac{\|A_0B_0\|_2}{\|A_0\|_2\|B_0\|_2}=1$ . Ceci montre que

$\text{Sup}\left\{ \frac{\|AB\|_2}{\|A\|_2\|B\|_2},\;(A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Cc)\setminus\{0\})^2\right\}=1$

En particulier, $\|\;\|_2$ est une norme sous-multiplicative.

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