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Soit $C$ un compact convexe d’un evn $E$. Soit $f : C \to {C,}$ $1$-lipschitzienne. Montrer que $f$ admet un point fixe. On pourra utiliser la fonction $f_n$ : $x \mapsto\frac an + \Bigl(1-\frac1n\Bigr)f(x)$ avec $a\in C$.