Soit \(f\) une application de classe \(\mathcal{C}^2 \colon [0;T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(a \in \mathbb{R}\) et l’équation différentielle : \[(E) \begin{cases} y'(t) = f(t,y(t)) \\ y(0) = a \end{cases}\]
pour laquelle on admet l’existence et l’unicité d’une solution \(y\) de classe \(\mathcal{C}^1\).
Montrer que \(y\) est de classe \(\mathcal{C}^3\).
Montrer que pour tout \(t,h \in \mathbb{R}^+\), \[y(t+h)=y(t)+hf(t,y(t)) + \frac{h^2}{2}\left( \frac{\partial f}{\partial t}(t,y(t))+f(t,y(t)) \frac{\partial f}{\partial y}(t,y(t)) \right) + O(h^3)\]
Pour approcher la solution de \((E)\), on propose le schéma numérique suivant : \(h=T/N\), \(t_n=nh\), \(y_0=a\) et \[(S) \colon y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n) + \frac{h^2}{2}\left( \frac{\partial f}{\partial t}(t_n,y_n)+f(t_n,y_n)\frac{\partial f}{\partial y}(t_n,y_n) \right)\]
Expliquer cette méthode, puis vérifier qu’elle est consistante. Quel est son ordre de consistance ?
On suppose que :
l’équation est autonome, c’est-à-dire que \(f\) ne dépend pas de \(t\) ;
il existe une constante \(L>0\) telle que \(f\) et \(f'\) sont \(L\)-lipschitziennes ;
il existe une constante \(M>0\) telle que pour tout \(y \in \mathbb{R}\), \(|f(y)|\leq M\) et \(|f'(y)| \leq M\).
Démontrer que la méthode est stable et convergente.
Soit \(N\) un entier supérieur ou égal à 2. En exploitant le travail ci-dessus, proposer un schéma d’ordre \(N\).
On pose \(f(t,x)=-tx\). Écrire un algorithme pour le schéma \((S)\) calculant un terme \(y_n\).
Résoudre analytiquement l’équation différentielle \(y' = -ty\).
Calculer les 20 premières valeurs données par le schéma défini précédemment et comparer avec le résultat exact et ceux obtenus avec la méthode d’Euler et la méthode d’Euler améliorée (méthode du point milieu).