Soit \(f \colon [0;T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(a \in \mathbb{R}\) et l’équation différentielle : \[(E) \begin{cases} y'(t) = f(t,y(t)) \\ y(0) = a \end{cases}\]
pour laquelle on admet l’existence et l’unicité d’une solution \(y\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On suppose de plus qu’il existe \(M>0\) tel que \(\forall t \in [0;T]\), \(\forall y \in \mathbb{R}\) : \[\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(t,y)>0 \qquad ; \qquad \left| \frac{\partial f}{\partial y}(t,y) \right| \leq M\]
On rappelle que la méthode d’Euler implicite est donnée par le schéma \[y_{n+1} = y_n + hf(t_{n+1},y_{n+1})\] et on suppose que le pas vérifie \(h \leq \frac{1}{2M}\).
Pour tout \(n \geq 0\), on pose \(\varphi_n(x) = y_n+hf(t_{n+1},x)-x\) et \(H_n(x) = y_n+hf(t_{n+1},x)\).
Vérifier que \(H_n\) est une application contractante et en déduire que le schéma est bien défini, c’est-à-dire qu’il permet bien de définir explicitement \(y_{n+1}\) en fonction de \(y_n\).
On propose la méthode suivante : \[(S) : \begin{cases} \widehat{y}_{n+1}=y_n - \frac{\varphi_n(y_n)}{\varphi_n'(y_n)} \\ y_{n+1} = y_n + hf(t_{n+1},\widehat{y}_{n+1}) \end{cases}\] On admet que cette méthode est stable. Expliquer pourquoi cette méthode ainsi décrite permet de définir explicitement \(y_{n+1}\) en fonction de \(y_n\). Décrire en particulier la méthode utilisée pour définir \(\widehat{y}_{n+1}\). Puis montrer que cette méthode \((S)\) est consistante, donc convergente.
On suppose maintenant que l’équation différentielle est autonome : \(f(t,y) = f(y)\) et que \(\forall y \in \mathbb{R}\), \(|f(y)| \leq M\), \(|f'(y)| \leq M\) et \(|f''(y)| \leq M\).
Simplifier le schéma \((S)\) en l’écrivant en fonction de \(f\) et \(f'\).
Montrer que \(\forall y,z \in \mathbb{R}\), \[|f(y)(f'(z)-f(z)f'(y)| \leq 2M^2|y-z|\]
Montrer que \(\forall y \in \mathbb{R}\) : \[\left|\frac{1}{1-hf'(y)} \right| \leq 2\]
On pose \(g_R(y,h)=\frac{f(y)}{1-hf'(y)}\). Montrer que \(\forall y,z \in \mathbb{R}\) : \[|g_R(y,h)-g_R(z,h)| \leq 4 |f(y)f'(z)-f(y)-f(z)f'(y)+f(z)|\] puis \[|g_R(y,h)-g_R(z,h)| \leq 4M(1+2Mh)|y-z|\]
En déduire que la méthode est stable
En déduire que la méthode est convergente.