On pose \(\theta=2\varphi\), et on obtient \[I = \int_0^{2\pi } {a\,d\theta\over 2a^2+1 -\cos \theta} = \int_C f(z)\,dz\] où \(c\) est le cercle trigonométrique, \(z= e^{i\theta}\) et \[f(z) = {2ia\over z^2 -2(2a^2+1)z +1} = {2ia\over P(z)}\] qui a deux pôles simples (racines du dénominateur \(P\)), dont une seule est intérieure au cercle, soit \[\alpha = 2a^2+1 -2a\sqrt{a^2+1}\] Donc \[I = 2\pi i \mbox{\rm Res}(f, \alpha) = 2\pi i {2ia\over P'(\alpha)} = {-4\pi a\over 2\alpha -2(2a^2+1)} = {\pi \over \sqrt{a^2+1}}.\]

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