On pose $\theta=2\varphi$ , et on obtient $I = \int_0^{2\pi } {a\,d\theta\over 2a^2+1 -\cos \theta} = \int_C f(z)\,dz$ où $c$ est le cercle trigonométrique, $z= e^{i\theta}$ et $f(z) = {2ia\over z^2 -2(2a^2+1)z +1} = {2ia\over P(z)}$ qui a deux pôles simples (racines du dénominateur $P$ ), dont une seule est intérieure au cercle, soit $\alpha = 2a^2+1 -2a\sqrt{a^2+1}$ Donc $I = 2\pi i \mbox{\rm Res}(f, \alpha) = 2\pi i {2ia\over P'(\alpha)} = {-4\pi a\over 2\alpha -2(2a^2+1)} = {\pi \over \sqrt{a^2+1}}.$

exo7 2672