D’après le théorème de Lagrange, les sous-groupes de $S_3$ sont d’ordre $1$ , $2$ , $3$ ou $6$ . Les sous-groupes d’ordre $1$ et $6$ sont les sous-groupes triviaux $\{1\}$ et $S_3$ respectivement. Comme $2$ et $3$ sont premiers, les sous-groupes d’ordre $2$ et $3$ sont cycliques. Un sous-groupe d’ordre $2$ est tout sous-groupe engendré par une transposition: il y en a $3$ . Il existe un seul sous-groupe d’ordre $3$ , celui engendré par le $3$ -cycle $(1 \hskip 2pt 2 \hskip 2pt 3)$ .

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