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Soit \(\Sigma\) une surface de \(\R^3\) de bord \(\Gamma = \partial \Sigma\), et \(\bf U\) un champ de vecteurs de \(\R^3\). En considérant la forme différentielle \(\omega = {\bf U}_1 \,dx + {\bf U}_2 \,dy + {\bf U}_3 \,dz\), montrer la forme vectorielle de la formule de Stokes : \[\int_\Sigma \operatorname{rot}{\bf U}\cdot {\bf n} \,d\sigma = \oint_{\Gamma } {\bf U}\cdot d {\bf r},\] où \({\bf n}\) désigne le vecteur normal à \(\Sigma\). Expliciter cette formule dans les cas où \(\Sigma\) est donnée : a) sous la forme directe \(z = f(x,y)\), avec \((x,y) \in D \subset \R^2\) ; b) sous la forme intrinsèque \(f(x,y,z) = 0\) ; c) sous la forme paramétrique \(x= x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)\), avec \((u,v)\in D\subset \R^2\).