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Soit $\Sigma$ une surface de $\R^3$ de bord $\Gamma = \partial \Sigma$, et $\bf U$ un champ de vecteurs de $\R^3$. En considérant la forme différentielle $\omega = {\bf U}_1 \,dx + {\bf U}_2 \,dy + {\bf U}_3 \,dz$, montrer la forme vectorielle de la formule de Stokes : $$\int_\Sigma \operatorname{rot}{\bf U}\cdot {\bf n} \,d\sigma = \oint_{\Gamma } {\bf U}\cdot d {\bf r},$$ où ${\bf n}$ désigne le vecteur normal à $\Sigma$. Expliciter cette formule dans les cas où $\Sigma$ est donnée : a) sous la forme directe $z = f(x,y)$, avec $(x,y) \in D \subset \R^2$ ; b) sous la forme intrinsèque $f(x,y,z) = 0$ ; c) sous la forme paramétrique $x= x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)$, avec $(u,v)\in D\subset \R^2$.