Pour \(\omega_1\), on pose \(P(x,y)=2xy\) et \(Q(x,y)=x^2\). Comme \(\omega_1\) est définie sur l’ouvert étoilé \(\Rr^2\) et que \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=2x\), le théorème de Poincaré permet de dire que \(\omega_1\) est exacte. On cherche \(f\) tel que \(df=\omega_1\). Ceci équivaut à résoudre le système \[\left\{ \begin{array}{lll} \frac{\partial f} {\partial x}& = &2xy \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= & x^2\\ \end{array} \right .\] En intégrant la première ligne par rapport à \(x\), on trouve \(f(x,y)= x^2y+c(y)\). En dérivant l’expression que l’on vient d’obtenir par rapport à \(y\) et en identifiant avec la deuxième ligne du système, on trouve \[\frac{\partial f}{\partial y}= x^2+c'(y)=x^2.\] Il s’ensuit que \(c'(y)=0\) et donc que \(c(y)=c \in \Rr\). Par suite, la fonction \(f\) cherchée est : \[f(x,y)=x^2y+c\] où \(c\) est une constante réelle. Pour \(\omega_2\), on pose \(P(x,y,z)=xy\), \(Q(x,y,z)=-z\) et \(R(x,y,z)=xz.\) On constate que \(\frac{\partial P}{\partial y}=x\) alors que \(\frac{\partial Q}{\partial x}=0\). La forme \(\omega_2\) n’est donc pas exacte. Pour \(\omega_3\), on pose \(P(x,y)=2xe^{x^2-y}\) et \(Q(x,y)=-2e^{x^2-y}\). Là aussi, \(\frac{\partial P}{\partial y}\not= \frac{\partial Q}{\partial x}\) puisque \(\frac{\partial P}{\partial y}=-2xe^{x^2-y}\) alors que \(\frac{\partial Q}{\partial x}=-4xe^{x^2-y}\) ; \(\omega_3\) n’est donc pas exacte. Pour \(\omega_4\), posons \(P(x,y,z)=yz^2\), \(Q(x,y,z)=xz^2+z\), \(R(x,y,z)=2xyz+2z+y\). On constate que

\(\frac{\partial P}{\partial y}= \frac{\partial Q}{\partial x}= z^2\) \(\frac{\partial P}{\partial z}= \frac{\partial R}{\partial x}=2zy\) \(\frac{\partial Q}{\partial z}= \frac{\partial R}{\partial y}= 2xz+1\).

exo7 6873