Pour $\omega_1$ , on pose $P(x,y)=2xy$ et $Q(x,y)=x^2$ . Comme $\omega_1$ est définie sur l’ouvert étoilé $\Rr^2$ et que $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=2x$ , le théorème de Poincaré permet de dire que $\omega_1$ est exacte. On cherche $f$ tel que $df=\omega_1$ . Ceci équivaut à résoudre le système $\left\{ \begin{array}{lll} \frac{\partial f} {\partial x}& = &2xy \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= & x^2\\ \end{array} \right .$ En intégrant la première ligne par rapport à $x$ , on trouve $f(x,y)= x^2y+c(y)$ . En dérivant l’expression que l’on vient d’obtenir par rapport à $y$ et en identifiant avec la deuxième ligne du système, on trouve $\frac{\partial f}{\partial y}= x^2+c'(y)=x^2.$ Il s’ensuit que $c'(y)=0$ et donc que $c(y)=c \in \Rr$ . Par suite, la fonction $f$ cherchée est : $f(x,y)=x^2y+c$ où $c$ est une constante réelle. Pour $\omega_2$ , on pose $P(x,y,z)=xy$ , $Q(x,y,z)=-z$ et $R(x,y,z)=xz.$ On constate que $\frac{\partial P}{\partial y}=x$ alors que $\frac{\partial Q}{\partial x}=0$ . La forme $\omega_2$ n’est donc pas exacte. Pour $\omega_3$ , on pose $P(x,y)=2xe^{x^2-y}$ et $Q(x,y)=-2e^{x^2-y}$ . Là aussi, $\frac{\partial P}{\partial y}\not= \frac{\partial Q}{\partial x}$ puisque $\frac{\partial P}{\partial y}=-2xe^{x^2-y}$ alors que $\frac{\partial Q}{\partial x}=-4xe^{x^2-y}$ ; $\omega_3$ n’est donc pas exacte. Pour $\omega_4$ , posons $P(x,y,z)=yz^2$ , $Q(x,y,z)=xz^2+z$ , $R(x,y,z)=2xyz+2z+y$ . On constate que

$\frac{\partial P}{\partial y}= \frac{\partial Q}{\partial x}= z^2$
$\frac{\partial P}{\partial z}= \frac{\partial R}{\partial x}=2zy$
$\frac{\partial Q}{\partial z}= \frac{\partial R}{\partial y}= 2xz+1$ .

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