Soit \(F=\frac{P}{Q}\) une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible. On suppose qu’il existe une fraction rationnelle \(G\) telle que \[G\left(\frac{P(X)}{Q(X)}\right)=X\]
1
Si \(G=\frac{a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0}{b_nX^n+\cdots+b_1X+b_0}\), montrer que \(P\) divise \((a_0-b_0X)\) et que \(Q\) divise \((a_n-b_nX)\).
2
En déduire que \(F=\frac{P}{Q}\) est de la forme \(F(X)=\frac{aX+b}{cX+d}\).
3
Pour \(Y=\frac{aX+b}{cX+d}\), exprimer \(X\) en fonction de \(Y\). En déduire l’expression de \(G\).