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Soient \(a_0,\ldots,a_n\) des réels deux à deux distincts. Pour tout \(i=0,\ldots,n\), on pose \[L_i(X)=\prod_{\substack{1\le j\le n \\ j\not= i}}\frac{X-a_j}{a_i-a_j}\] (les \(L_i\) sont appelés polynômes interpolateurs de Lagrange). Calculer \(L_i(a_j)\).
Soient \(b_0,\ldots,b_n\) des réels fixés. Montrer que \(P(X)=\sum_{i=0}^nb_iL_i(X)\) est l’unique polynôme de degré inférieur ou égal à \(n\) qui vérifie: \[P(a_j)=b_j \quad \text{ pour tout }j=0,\ldots,n.\]
Application. Trouver le polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à \(3\) tel que \[P(0)=1\quad\text{et}\quad P(1)=0\quad\text{et}\quad P(-1)=-2\quad\text{et}\quad P(2)=4.\]