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Soient $a_0,\ldots,a_n$ des réels deux à deux distincts. Pour tout $i=0,\ldots,n$, on pose $$L_i(X)=\prod_{\substack{1\le j\le n \\ j\not= i}}\frac{X-a_j}{a_i-a_j}$$ (les $L_i$ sont appelés polynômes interpolateurs de Lagrange). Calculer $L_i(a_j)$.

Soient $b_0,\ldots,b_n$ des réels fixés. Montrer que $P(X)=\sum_{i=0}^nb_iL_i(X)$ est l’unique polynôme de degré inférieur ou égal à $n$ qui vérifie: $$P(a_j)=b_j \quad \text{ pour tout }j=0,\ldots,n.$$

Application. Trouver le polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $3$ tel que $$P(0)=1\quad\text{et}\quad P(1)=0\quad\text{et}\quad P(-1)=-2\quad\text{et}\quad P(2)=4.$$