\(F=\mbox{Vect}(u)\) est un sous espace vectoriel de \(\Rr^n\) et \(G\) est un sous espace vectoriel de \(\Rr^n\), car est le noyau de la forme linéaire \((x_1,...,x_n)\mapsto x_1+...+x_n\).

Soit \(x=(x_1,...,x_n)\in\Rr^n\) et soit \(\lambda\in\Rr\).

\[x-\lambda u\in G\Leftrightarrow(x_1-\lambda,...,x_n-\lambda)\in G\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}(x_k-\lambda)=0\Leftrightarrow\lambda=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k.\]

Donc,

\[\forall x\in\Rr^n,\;\exists!\lambda\in\Rr/\;x-\lambda u\in G,\]

et donc,

\[\Rr^n=F\oplus G.\]

Le projeté sur \(F\) parallèlement à \(G\) d’un vecteur \(x=(x_1,...,x_n)\) est

\[\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k.u=(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k,...,\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k)\]

et le projeté du même vecteur sur \(G\) parallèlement à \(F\) est

\[x-(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k).u =(x_1-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k,...,x_n-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k).\]

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