$F=\mbox{Vect}(u)$ est un sous espace vectoriel de $\Rr^n$ et $G$ est un sous espace vectoriel de $\Rr^n$ , car est le noyau de la forme linéaire $(x_1,...,x_n)\mapsto x_1+...+x_n$ .

Soit $x=(x_1,...,x_n)\in\Rr^n$ et soit $\lambda\in\Rr$ .

$x-\lambda u\in G\Leftrightarrow(x_1-\lambda,...,x_n-\lambda)\in G\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n}(x_k-\lambda)=0\Leftrightarrow\lambda=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k.$

Donc,

$\forall x\in\Rr^n,\;\exists!\lambda\in\Rr/\;x-\lambda u\in G,$

et donc,

$\Rr^n=F\oplus G.$

Le projeté sur $F$ parallèlement à $G$ d’un vecteur $x=(x_1,...,x_n)$ est

$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k.u=(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k,...,\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k)$

et le projeté du même vecteur sur $G$ parallèlement à $F$ est

$x-(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k).u =(x_1-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k,...,x_n-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k).$

exo7 5178