L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa BCPST 4 questions

exo7 1637

On considère une matrice $A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)$ et l’application $\phi_{A}$ définie par : $\phi_{A}: \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_{nn}(\C) & \rightarrow & \mathcal{M}_{nn}(\C)\\ B &\mapsto &AB \end{array}$

Montrer que $\phi_{A}$ est linéaire.

Le but de l’exercice est de montrer que $\phi_{A}$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable.

Calculer $\phi_{A}^{2}(B)$ , puis $\phi_{A}^{k}(B)$ pour $k\in\N$ . En déduire que si $P$ est un polynôme, alors $P(\phi_{A})=\phi_{P(A)}$ .

En déduire que $P$ est un polynôme annulateur de $A$ si et seulement si $P$ est un polynôme annulateur de $\phi_{A}$ .

Montrer que $\phi_{A}$ est diagonalisable si et seulement si $A$ l’est.