On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application \(\phi_{A}\) définie par : \[\phi_{A}: \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_{nn}(\C) & \rightarrow & \mathcal{M}_{nn}(\C)\\ B &\mapsto &AB \end{array}\]
1
Montrer que \(\phi_{A}\) est linéaire.
Le but de l’exercice est de montrer que \(\phi_{A}\) est diagonalisable si et seulement si \(A\) est diagonalisable.
2
Calculer \(\phi_{A}^{2}(B)\), puis \(\phi_{A}^{k}(B)\) pour \(k\in\N\). En déduire que si \(P\) est un polynôme, alors \(P(\phi_{A})=\phi_{P(A)}\).
3
En déduire que \(P\) est un polynôme annulateur de \(A\) si et seulement si \(P\) est un polynôme annulateur de \(\phi_{A}\).
4
Montrer que \(\phi_{A}\) est diagonalisable si et seulement si \(A\) l’est.