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Déterminer les points réguliers et singuliers pour $\displaystyle{f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}z^n}$ et $\displaystyle{f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{z^n}{n}}$.

Quel est le lien entre la régularité d’un point $z_0\in \partial B(0,R)$ et la convergence de $\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz_0^n}$ ?

Montrer que ${\rm Sing}(f)$ est fermé.

On considère $\displaystyle{f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}z^{2^n}}$.

Montrer que le rayon de convergence de $f$ est $1$.

Montrer que $1$ est un point singulier de $f$. (Indication, montrer que $\lim_{t\to 1^-}\sum_{n=0}^{+\infty}t^{2^n}=+\infty$).

Montrer que pour tout $m\in \N$, toute racine $2^m$-ième de $1$ est un point singulier de $f$. (Indication, observer que pour tout $m\in \N$ et pour tout $z\in B(0,1)$, $f\big(z^{2^{m+1}}\big)=f\big(z^{2^m}\big)-z^{2^m}$).

En déduire que ${\rm Sing}(f)=\partial B(0,1)$.