Posons \(u=x-\frac\pi3\) (et donc \(x=\frac\pi3+u\)). Alors \[\sin(x)=\sin(\frac\pi3+u) = \sin(\frac\pi3)\cos(u)+\sin(u)\cos(\frac\pi3) = \frac{\sqrt3}{2}\cos u +\frac12\sin u\] On connaît les dl de \(\sin u\) et \(\cos u\) autour de \(u=0\) (car on cherche un dl autour de \(x=\frac\pi3\)) donc

\[\begin{align*} \sin x & = \frac{\sqrt3}{2}\cos u +\frac12\sin u \\ & = \frac{\sqrt3}{2} \bigg(1-\frac{1}{2!}u^2 + o(u^3) \bigg) + \frac{1}{2} \bigg( u -\frac{1}{3!}u^3 + o(u^3) \bigg) \\ & = \frac{\sqrt3}{2} + \frac{1}{2} u - \frac{\sqrt3}{4} u^2 -\frac{1}{12}u^3 + o(u^3) \\ & = \frac{\sqrt3}{2} + \frac{1}{2} (x-\frac\pi3) - \frac{\sqrt3}{4}(x-\frac\pi3)^2 -\frac{1}{12}(x-\frac\pi3)^3 + o((x-\frac\pi3)^3) \\ \end{align*}\]

Maintenant pour le dl de la forme \(\ln(a+v)\) en \(v=0\) on se ramène au dl de \(\ln(1+v)\) ainsi : \[\ln(a+v)=\ln\big(a(1 + \frac v a)\big) = \ln a + \ln(1 + \frac v a) = \ln a + \frac v a - \frac12 \frac{v^2}{a^2} + \frac13 \frac{v^3}{a^3} + o(v^3)\]

On applique ceci à \(h(x)= \ln(\sin x)\) en posant toujours \(u=x-\frac\pi3\) : \[\begin{align*} h(x)= \ln(\sin x) & = \ln\left(\frac{\sqrt3}{2} + \frac{1}{2} u - \frac{\sqrt3}{4} u^2 -\frac{1}{12}u^3 + o(u^3)\right) \\ & = \ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) + \ln\left(1 + \frac{2}{\sqrt3}\left(\frac{1}{2} u - \frac{\sqrt3}{4} u^2 -\frac{1}{12}u^3 + o(u^3)\right) \right) \\ & = \ \cdots \qquad \text{ on effectue le dl du } \ln \text{ et on regroupe les termes} \\ & = \ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) + \frac{1}{\sqrt 3} u -\frac23 u^2 + \frac{4}{9\sqrt3}u^3 + o(u^3) \\ & = \ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) + \frac{1}{\sqrt 3}(x-\frac\pi3) -\frac23 (x-\frac\pi3)^2 + \frac{4}{9\sqrt3}(x-\frac\pi3)^3 + o((x-\frac\pi3)^3) \\ \end{align*}\]

On trouve donc : \[\ln(\sin x) = \ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) + \frac{1}{\sqrt 3}(x-\frac\pi3) -\frac23 (x-\frac\pi3)^2 + \frac{4}{9\sqrt3}(x-\frac\pi3)^3 + o((x-\frac\pi3)^3)\]

Bien sûr une autre méthode consiste à calculer \(h(1)\), \(h'(1)\), \(h''(1)\) et \(h'''(1)\).

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