Posons $u=x-\frac\pi3$ (et donc $x=\frac\pi3+u$ ). Alors $\sin(x)=\sin(\frac\pi3+u) = \sin(\frac\pi3)\cos(u)+\sin(u)\cos(\frac\pi3) = \frac{\sqrt3}{2}\cos u +\frac12\sin u$ On connaît les dl de $\sin u$ et $\cos u$ autour de $u=0$ (car on cherche un dl autour de $x=\frac\pi3$ ) donc

$\begin{align*} \sin x & = \frac{\sqrt3}{2}\cos u +\frac12\sin u \\ & = \frac{\sqrt3}{2} \bigg(1-\frac{1}{2!}u^2 + o(u^3) \bigg) + \frac{1}{2} \bigg( u -\frac{1}{3!}u^3 + o(u^3) \bigg) \\ & = \frac{\sqrt3}{2} + \frac{1}{2} u - \frac{\sqrt3}{4} u^2 -\frac{1}{12}u^3 + o(u^3) \\ & = \frac{\sqrt3}{2} + \frac{1}{2} (x-\frac\pi3) - \frac{\sqrt3}{4}(x-\frac\pi3)^2 -\frac{1}{12}(x-\frac\pi3)^3 + o((x-\frac\pi3)^3) \\ \end{align*}$

Maintenant pour le dl de la forme $\ln(a+v)$ en $v=0$ on se ramène au dl de $\ln(1+v)$ ainsi : $\ln(a+v)=\ln\big(a(1 + \frac v a)\big) = \ln a + \ln(1 + \frac v a) = \ln a + \frac v a - \frac12 \frac{v^2}{a^2} + \frac13 \frac{v^3}{a^3} + o(v^3)$

On applique ceci à $h(x)= \ln(\sin x)$ en posant toujours $u=x-\frac\pi3$ : $\begin{align*} h(x)= \ln(\sin x) & = \ln\left(\frac{\sqrt3}{2} + \frac{1}{2} u - \frac{\sqrt3}{4} u^2 -\frac{1}{12}u^3 + o(u^3)\right) \\ & = \ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) + \ln\left(1 + \frac{2}{\sqrt3}\left(\frac{1}{2} u - \frac{\sqrt3}{4} u^2 -\frac{1}{12}u^3 + o(u^3)\right) \right) \\ & = \ \cdots \qquad \text{ on effectue le dl du } \ln \text{ et on regroupe les termes} \\ & = \ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) + \frac{1}{\sqrt 3} u -\frac23 u^2 + \frac{4}{9\sqrt3}u^3 + o(u^3) \\ & = \ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) + \frac{1}{\sqrt 3}(x-\frac\pi3) -\frac23 (x-\frac\pi3)^2 + \frac{4}{9\sqrt3}(x-\frac\pi3)^3 + o((x-\frac\pi3)^3) \\ \end{align*}$

On trouve donc : $\ln(\sin x) = \ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) + \frac{1}{\sqrt 3}(x-\frac\pi3) -\frac23 (x-\frac\pi3)^2 + \frac{4}{9\sqrt3}(x-\frac\pi3)^3 + o((x-\frac\pi3)^3)$

Bien sûr une autre méthode consiste à calculer $h(1)$ , $h'(1)$ , $h''(1)$ et $h'''(1)$ .

exo7 1243