exo7 3187

Donner un isomorphisme $f$ entre $\C^{n+1}$ et $\C_n[X]$.

Montrer que $\sigma:{\C^{n+1}}\to{\C^{n+1}}, {(a_0,\dots,a_n)}\mapsto{(a_n,a_0,\dots,a_{n-1})}$ est linéaire.

Si $(P,Q)\in(\C[X])^2$, on définit le produit $\overline{PQ}$ comme le reste de la division euclidienne de $PQ$ par $X^{n+1}-1$. Montrer que l’application induite par $\sigma$ sur $\C_n[X]$ (c’est-à-dire $f\circ \sigma\circ f^{-1}$) est l’application qui à $P$ associe $\overline{XP}$.

Soit $F$ un sous-espace de $\C^{n+1}$ stable par $\sigma$.

Montrer qu’il existe un polynôme $Q$ tel que $f(F) = \{\overline{RQ},\ R\in\C_n[X]\}$.