1
Donner un isomorphisme \(f\) entre \(\C^{n+1}\) et \(\C_n[X]\).
2
Montrer que \(\sigma:{\C^{n+1}}\to{\C^{n+1}}, {(a_0,\dots,a_n)}\mapsto{(a_n,a_0,\dots,a_{n-1})}\) est linéaire.
3
Si \((P,Q)\in(\C[X])^2\), on définit le produit \(\overline{PQ}\) comme le reste de la division euclidienne de \(PQ\) par \(X^{n+1}-1\). Montrer que l’application induite par \(\sigma\) sur \(\C_n[X]\) (c’est-à-dire \(f\circ \sigma\circ f^{-1}\)) est l’application qui à \(P\) associe \(\overline{XP}\).
4
Soit \(F\) un sous-espace de \(\C^{n+1}\) stable par \(\sigma\).
Montrer qu’il existe un polynôme \(Q\) tel que \(f(F) = \{\overline{RQ},\ R\in\C_n[X]\}\).