exo7 7845

Soit $G$ un groupe. On appelle groupe des commutateurs de $G$ et l’on note $D(G)$ le sous-groupe de $G$ engendré par les éléments de la forme $xyx^{-1}y^{-1}$. Montrer que $D(G)$ est distingué dans $G$ et que le quotient $G/D(G)$ est abélien. Montrer que $D(G)$ est le plus petit sous-groupe distingué de $G$ tel que le quotient de $G$ par ce sous-groupe soit abélien.