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Soit l’ensemble $E=\Z \times \Z$ muni de l’opération binaire $(x_1,y_1)*(x_2,y_2)=(x_1x_2,\, x_2y_1+y_2)$. Est-ce que $(E,*)$ est un monoı̈de ? Un groupe ? Est-ce que l’opération est commutative ?

Mêmes questions pour l’ensemble de matrices $$M:=\left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) ; a,b,c,d\in \Z, a+b=c+d \right\}\; ,$$ muni de la multiplication des matrices.