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On suppose qu’il existe $p\in {\Nn}$ tel que $$\lim_{r\to +\infty}{M(r)\over r^{p+1}}=0$$ Montrer qu’alors $f$ est un polynôme de degré au plus $p$.

On suppose qu’il existe $R\ge 0$, $K>0$ et $p\in {\Nn}$ tels que $$\vert z\vert >R\Longrightarrow \vert f(z)\vert \le K\vert z\vert ^p$$ Montrer qu’alors $f$ est un polynôme de degré au plus $p$. Montrer que si de plus $R=0$ alors $f$ est un monôme de degré $p$.

En déduire que si $f$ vérifie $$\forall z\in \C,\ \vert f'(z)\vert \le \vert z\vert$$ alors $f$ est de la forme $f(z)=a+bz^2$ avec $\vert b\vert \le 1/2$.