Soit \(f\) une fonction entière ; on pose, pour \(r\in {\Rr}_+^*\), \[M(r)=\sup_{\vert z\vert =r}\vert f(z)\vert\]
1
On suppose qu’il existe \(p\in {\Nn}\) tel que \[\lim_{r\to +\infty}{M(r)\over r^{p+1}}=0\] Montrer qu’alors \(f\) est un polynôme de degré au plus \(p\).
2
On suppose qu’il existe \(R\ge 0\), \(K>0\) et \(p\in {\Nn}\) tels que \[\vert z\vert >R\Longrightarrow \vert f(z)\vert \le K\vert z\vert ^p\] Montrer qu’alors \(f\) est un polynôme de degré au plus \(p\). Montrer que si de plus \(R=0\) alors \(f\) est un monôme de degré \(p\).
3
En déduire que si \(f\) vérifie \[\forall z\in \C,\ \vert f'(z)\vert \le \vert z\vert\] alors \(f\) est de la forme \(f(z)=a+bz^2\) avec \(\vert b\vert \le 1/2\).