Soit \(f\) une fonction entière telle que \(\vert f(z)\vert =1\) si \(\vert z\vert =1\). Soit \(D\) le disque unité fermé.
1
Supposons que \(f\) n’a pas de zéros dans \(D\). Montrer qu’il existe \(k\in\C\) tel que \(f(z)=k\) pour tout \(z\) de \(\C\).
2
Soit \(a_1,\dots,a_n\) (pourquoi un nombre fini ?) les zéros de \(f\) dans \(D\) , chacun étant compté avec son ordre de multiplicité. En étudiant la fonction \[g(z)=f(z)\prod_{j=1}^n{1-\overline{a_j}z\over z-a_j}\] montrer qu’il existe \(k\in\C\), \(\vert k\vert =1\), et \(n\in {\Nn}\) tels que \(f(z)=kz^n\).