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Supposons que $f$ n’a pas de zéros dans $D$. Montrer qu’il existe $k\in\C$ tel que $f(z)=k$ pour tout $z$ de $\C$.

Soit $a_1,\dots,a_n$ (pourquoi un nombre fini ?) les zéros de $f$ dans $D$ , chacun étant compté avec son ordre de multiplicité. En étudiant la fonction $$g(z)=f(z)\prod_{j=1}^n{1-\overline{a_j}z\over z-a_j}$$ montrer qu’il existe $k\in\C$, $\vert k\vert =1$, et $n\in {\Nn}$ tels que $f(z)=kz^n$.