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Montrer qu’il existe sur $\C\setminus [-1,1]$ une détermination holomorphe de $(z^2-1)^{-1/2}$ qui prend la valeur 1 pour $z=\sqrt 2$. Unicité ? On désignera par $f$ cette détermination.

Pour $z\in \C\setminus{\Rr}$, on désigne par $\gamma _z$ le segment $\mathopen] 0,z]$ orienté de 0 vers $z$ et on pose $$F(z)=\int_{\gamma _z}f(\zeta )\ d\zeta .$$

Montrer que $F$ est holomorphe sur $\C\setminus {\Rr}$ (quelle en est la dérivée $F'$ ?).

Etudier $\lim_{z'\to z}F(z')$ lorsque $z\in {\Rr}\setminus [-1,1]$.

En déduire que $f$ n’a pas de primitive sur $\C\setminus [-1,1]$.