1
Montrer qu’il existe sur \(\C\setminus [-1,1]\) une détermination holomorphe de \((z^2-1)^{-1/2}\) qui prend la valeur 1 pour \(z=\sqrt 2\). Unicité ? On désignera par \(f\) cette détermination.
2
Pour \(z\in \C\setminus{\Rr}\), on désigne par \(\gamma _z\) le segment \(\mathopen] 0,z]\) orienté de 0 vers \(z\) et on pose \[F(z)=\int_{\gamma _z}f(\zeta )\ d\zeta .\]
3
Montrer que \(F\) est holomorphe sur \(\C\setminus {\Rr}\) (quelle en est la dérivée \(F'\) ?).
4
Etudier \(\lim_{z'\to z}F(z')\) lorsque \(z\in {\Rr}\setminus [-1,1]\).
5
En déduire que \(f\) n’a pas de primitive sur \(\C\setminus [-1,1]\).