Il est intéressant que l’équation de l’exercice précédent \(\frac{\partial F}{\partial\theta} = i\, r\frac{\partial F}{\partial r}\), peut se réécrire dans le système de coordonnées \((a,b) = (\log(r),\theta)\) sous la forme: \[\frac{\partial F}{\partial b} = i\, \frac{\partial F}{\partial a}\;,\] autrement dit exactement sous la même forme qu’ont les équations de Cauchy-Riemann originelles dans les coordonnées cartésiennes \((x,y)\).1 Or \(a\) et \(b\) sont les parties réelles et imaginaires de la combinaison \(a+ib\) qui est holomorphe comme fonction de \(x+iy\): \(a+ib = \log(x+iy)\). Montrer que cela est général: dans un système de coordonnées \((a,b)\) telles que \(w= a+ib\) est une fonction holomorphe de \(z = x+iy\) les équations de Cauchy-Riemann pour l’holomorphie (par rapport à \((x,y)\)) d’une fonction \(F\) sont \(\frac{\partial F}{\partial b} = i \frac{\partial F}{\partial a}\) (ce qui équivaut à l’holomorphie de \(F\) comme fonction “sur le plan de \(w=a+ib\)”2). Indication: prouver l’identité : \[\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y} = \left(\frac{\partial a}{\partial x} - i \frac{\partial b}{\partial x}\right)\left(\frac\partial{\partial a} + i\frac\partial{\partial b}\right)\;,\] en exploitant les équations de Cauchy-Riemann \(\frac{\partial b}{\partial x} = -\frac{\partial a}{\partial y}\), \(\frac{\partial a}{\partial x} = +\frac{\partial b}{\partial y}\) pour \(a+ib = g(x+iy)\).
\(\frac{\partial F}{\partial y} = i \frac{\partial F}{\partial x}\), ou, plus mnémotechnique: \(\frac{\phantom{i}\,\partial F}{i\,\partial y} = \frac{\partial F}{\partial x}\) qui dit “holomorphe \(\Leftrightarrow\) \(iy\) est comme \(x\)”.↩︎
autrement dit pour qu’une fonction soit holomorphe comme fonction de \(x+iy\) il est nécessaire et suffisant qu’elle soit holomorphe comme fonction de \(a+ib\). En particulier \(x+iy\) est une fonction holomorphe de \(a+ib\): on a donc prouvé que la réciproque d’une bijection holomorphe est aussi holomorphe. Nous reviendrons là-dessus avec d’autres méthodes (dont celle très concrète de l’“inversion” d’une série entière).↩︎