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Il est intéressant que l’équation de l’exercice précédent $\frac{\partial F}{\partial\theta} = i\, r\frac{\partial F}{\partial r}$, peut se réécrire dans le système de coordonnées $(a,b) = (\log(r),\theta)$ sous la forme: $$\frac{\partial F}{\partial b} = i\, \frac{\partial F}{\partial a}\;,$$ autrement dit exactement sous la même forme qu’ont les équations de Cauchy-Riemann originelles dans les coordonnées cartésiennes $(x,y)$.¹ Or $a$ et $b$ sont les parties réelles et imaginaires de la combinaison $a+ib$ qui est holomorphe comme fonction de $x+iy$: $a+ib = \log(x+iy)$. Montrer que cela est général: dans un système de coordonnées $(a,b)$ telles que $w= a+ib$ est une fonction holomorphe de $z = x+iy$ les équations de Cauchy-Riemann pour l’holomorphie (par rapport à $(x,y)$) d’une fonction $F$ sont $\frac{\partial F}{\partial b} = i \frac{\partial F}{\partial a}$ (ce qui équivaut à l’holomorphie de $F$ comme fonction “sur le plan de $w=a+ib$”²). Indication: prouver l’identité : $$\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y} = \left(\frac{\partial a}{\partial x} - i \frac{\partial b}{\partial x}\right)\left(\frac\partial{\partial a} + i\frac\partial{\partial b}\right)\;,$$ en exploitant les équations de Cauchy-Riemann $\frac{\partial b}{\partial x} = -\frac{\partial a}{\partial y}$, $\frac{\partial a}{\partial x} = +\frac{\partial b}{\partial y}$ pour $a+ib = g(x+iy)$.