On considère la fonction \(F\) définie sur le plan complexe par \[F(z)=z^2e^{\cos\left(\frac{\pi}{4}(z-1)\right)}.\] On considère de plus le chemin suivant \(\gamma(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-i\pi t}\) pour \(t\in [0,1]\).
1
Justifier que \(F\) est holomorphe et calculer \(F'.\)
2
En déduire \[\int_\gamma z\left(2-z\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{4}(z-1)\right)\right)e^{\cos\left(\frac{\pi}{4}(z-1)\right)}dz.\]