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Calculer $I_1=\displaystyle\int_{\gamma} (2+z+{1\over z}){f(z)\over z}\ dz$ et $I_2=\displaystyle\int_{\gamma} (2-z-{1\over z}){f(z)\over z}\ dz$.

En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^{2\pi} f(e^{i\theta})\cos^2({\theta\over2})\ d\theta$ et $\displaystyle\int_0^{2\pi} f(e^{i\theta})\sin^2({\theta\over2})\ d\theta$.

Pour $|a|\not=1$, évaluer $I(a)=\displaystyle{1\over 2i\pi}\int_{\gamma} {\overline{f(z)}\over z-a}\ dz.$