Soit \(U\) un ouvert de \(\Cc\) contenant \(\bar D\) et \(f\in H(U)\). On note \(\gamma\) le paramétrage de \(\partial D\) par \(t\in [0,2\pi]\to e^{it}\).
1
Calculer \(I_1=\displaystyle\int_{\gamma} (2+z+{1\over z}){f(z)\over z}\ dz\) et \(I_2=\displaystyle\int_{\gamma} (2-z-{1\over z}){f(z)\over z}\ dz\).
2
En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^{2\pi} f(e^{i\theta})\cos^2({\theta\over2})\ d\theta\) et \(\displaystyle\int_0^{2\pi} f(e^{i\theta})\sin^2({\theta\over2})\ d\theta\).
3
Pour \(|a|\not=1\), évaluer \(I(a)=\displaystyle{1\over 2i\pi}\int_{\gamma} {\overline{f(z)}\over z-a}\ dz.\)