[gijsexophi] Soit \(D\) le disque unité ouvert : \[D=\{ z\in \C\vert\ \vert z\vert <1\}\] et \(C\) le cercle unité : \[C=\{ z\in \C\vert\ \vert z\vert =1\} .\] Pour \(a\in D\), on considère l’application homographique \(\Phi _a\) : \[\Phi _a(z)={z-a\over 1-\overline{a}z}.\]
Montrer que \(\Phi _a(C)\subset C\), puis que \(\Phi_a\) est une bijection de \(D\) sur lui-même, de réciproque \(\Phi _{-a}\).
Soit \(f\) un biholomorphisme de \(D\), c’est-à-dire une fonction holomorphe de \(D\) sur lui-même, bijective, telle que \(f^{-1}\) soit aussi holomorphe. Soit \(a=f^{-1}(0)\). En considérant \(f\circ (\Phi _a)^{-1}\) et sa réciproque, montrer qu’il existe \(\varphi\in {\Rr}\) tel que \[\forall z\in D,\ f(z)=e^{i\varphi}\Phi _a(z),\] c’est-à-dire qu’à rotation près, les seuls biholomorphismes du disque sont les \(\Phi _a\).