L3 Analyse complexe Formule de Cauchy 3 questions

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[Principe de réflexion de Schwarz] Soit U⊂CU\subset \C un ouvert symétrique par rapport à l’axe réel. Notons U+:=U∩{ℑ(z)>0}U_+:=U\cap\{\Im(z)>0\} et U−:=U∩{ℑ(z)<0}U_-:=U\cap \{\Im(z)<0\}. Soit f:U+‾→Cf:\overline{U_+}\to \C une fonction continue telle que f∣U+f|_{U_+} est holomorphe et telle que f(x)∈Rf(x)\in\R pour tout x∈U+‾∩Rx\in \overline{U_+}\cap \R.

1

Montrer que la fonction g:U−‾→Cg:\overline{U_-}\to \C définie par g(z):=f(zˉ)‾g(z):=\overline{f(\bar z)} est continue sur U−‾\overline{U_-} et holomorphe sur U−U_-.

2

Montrer que l’on peut étendre la fonction ff en une fonction continue h:U‾→Ch:\overline{U}\to \C en posant h(z)=f(z)h(z)=f(z) si z∈U+‾z\in \overline{U_+} et h(z)=g(z)h(z)=g(z) si z∈U−‾z\in \overline{U_-}.

3

Montrer que h∣Uh|_{U} est holomorphe.

Exercice xZ7o

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