Soit \(D\) le disque unité ouvert. On dira qu’une fonction \(E\) est unitaire si elle est holomorphe dans \(D\), continue sur \(\overline{D}\) et si \(\vert f(z)\vert =1\) si \(\vert z\vert=1\).
Montrer qu’une fonction unitaire dans \(D\) n’a qu’un nombre fini de zéros.
Montrer qu’une fonction unitaire sans zéro est une constante.
Montrer qu’une fonction unitaire ayant les points \(a_1,a_2,\dots,a_n\) pour zéros (chacun étant compté avec son ordre de multiplicité) s’écrit \[E(z)=c\prod_{j=1}^n{z-a_j\over 1-\overline{a_j}z}.\]
Soit \(f\) holomorphe sur \(D\) et non identiquement nulle et supposons qu’il existe \(M>0\) tel que \(\vert f(z)\vert \le M\) sur \(D\). Soit \(E\) une fonction unitaire dans \(D\) et telle que \(f(z)/E(z)\) soit holomorphe dans \(D\). Montrer que l’on a \[\forall z\in D,\ \vert f(z)\vert \le M\vert E(z)\vert .\] Soit \(a_1,a_2,\dots, a_n,\dots\) la suite des zéros de \(f\) dans \(D\), chacun étant compté avec son ordre de multiplicité. Montrer que \[\forall n\ge 1,\ \vert f(0)\vert \le M\vert a_1\vert\vert a_2\vert\cdots\vert a_n\vert .\] En déduire que si \(f(0)\ne 0\), la série \(\sum_{n\ge 1}(1-\vert a_n\vert)\) converge.