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Montrer qu’une fonction unitaire dans $D$ n’a qu’un nombre fini de zéros.

Montrer qu’une fonction unitaire sans zéro est une constante.

Montrer qu’une fonction unitaire ayant les points $a_1,a_2,\dots,a_n$ pour zéros (chacun étant compté avec son ordre de multiplicité) s’écrit $$E(z)=c\prod_{j=1}^n{z-a_j\over 1-\overline{a_j}z}.$$

Soit $f$ holomorphe sur $D$ et non identiquement nulle et supposons qu’il existe $M>0$ tel que $\vert f(z)\vert \le M$ sur $D$. Soit $E$ une fonction unitaire dans $D$ et telle que $f(z)/E(z)$ soit holomorphe dans $D$. Montrer que l’on a $$\forall z\in D,\ \vert f(z)\vert \le M\vert E(z)\vert .$$ Soit $a_1,a_2,\dots, a_n,\dots$ la suite des zéros de $f$ dans $D$, chacun étant compté avec son ordre de multiplicité. Montrer que $$\forall n\ge 1,\ \vert f(0)\vert \le M\vert a_1\vert\vert a_2\vert\cdots\vert a_n\vert .$$ En déduire que si $f(0)\ne 0$, la série $\sum_{n\ge 1}(1-\vert a_n\vert)$ converge.