Soit \(f\) une fonction holomorphe sur \(\{z\in\C\vert\ \vert z\vert <R\}\). Si \(f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) pour \(\vert z\vert<R\), on pose pour \(0\le r< R\) : \[\begin{aligned} \lefteqn{M(r,f)=\max_{\vert z\vert =r}\vert f(z)\vert ,\ M_1(r,f)=\sum_{n=0}^\infty \vert a_n\vert r^n,}\\ M_2(r,f)&=&\left({1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\vert f(re^{i\theta })\vert ^2d\theta \right)^{1/2}.\end{aligned}\]
1
Montrer que pour \(0\le r<R\), \[M_2(r,f)=\left( \sum_{n=0}^\infty\vert a_n\vert^2r^{2n}\right)^{1/2}.\]
2
Déduire de (a) que \(r\mapsto M_2(r,f)\) est une fonction continue croissante.
3
Déduire de (a) une autre démonstration des inégalités de Cauchy.