(Théorème d’extension de Riemann.)
Le but de cet exercice est de démontrer le théorème d’extension de Riemann à l’aide du lemme de Goursat raffiné.
Théorème. (d’extension de Riemann)
Soit \(U\subset \C\) un ouvert. Soit \(z_0\in U\) soit \(f:U\setminus\{z_0\}\to \C\) une fonction holomorphe bornée dans un voisinage de \(z_0\). Alors \(f\) s’étend en une fonction holomorphe sur \(U\).
Pour démontrer ce théorème, on considère la fonction \(F:U\to \C\) définie par \[F(z)=\left\{\begin{array}{ccc}0&\text{si}& z=z_0\\ (z-z_0)f(z)&\text{si}&z\neq z_0.\end{array}\right.\]
À l’aide du lemme de Goursat raffiné, démontrer que \(F\) est holomorphe sur \(U\).
À l’aide de la \(\C\)-dérivabilité de \(F\) en \(z_0\), montrer que \(f\) s’étend en une fonction continue sur \(U\).
Conclure.