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(Théorème d’extension de Riemann.) Le but de cet exercice est de démontrer le théorème d’extension de Riemann à l’aide du lemme de Goursat raffiné.
Théorème. (d’extension de Riemann)
Soit $U\subset \C$ un ouvert. Soit $z_0\in U$ soit $f:U\setminus\{z_0\}\to \C$ une fonction holomorphe bornée dans un voisinage de $z_0$. Alors $f$ s’étend en une fonction holomorphe sur $U$.

Pour démontrer ce théorème, on considère la fonction $F:U\to \C$ définie par $$F(z)=\left\{\begin{array}{ccc}0&\text{si}& z=z_0\\ (z-z_0)f(z)&\text{si}&z\neq z_0.\end{array}\right.$$