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Soit $C\subset{\Cc}$ une courbe orientée $C^1$ et fermée. Soit $\gamma$ un chemin $C^1$ d’origine $a$ et d’extrémité $b$, tels que $a$ et $b$ ne soient pas des points de $C$. On suppose que l’intersection de $C$ et $\gamma$ est constituée d’un nombre fini de points $m_1,\dots,m_n$ et que les tangentes à $C$ et à $\gamma$ sont distinctes en ces points. Soit $\varepsilon _i=1$ si l’angle de la tangente à $\gamma$ avec la tangente à $C$ en $m_i$ est entre 0 et $\pi$, $\varepsilon _i=-1$ sinon. Montrer que $$\sum_i \varepsilon _i=\mathrm{Ind}_C(a)-\mathrm{Ind}_C(b)$$ où $\mathrm{Ind}_C(z)$ désigne l’indice de $z$ par rapport à $C$.

Calculer l’indice du point $z={3\over 4}$ par rapport à la courbe dont l’équation en coordonnées polaires est $r=\cos {\theta \over 3}$ avec $0\le \theta \le 3\pi$, parcourue dans le sens des $\theta$ croissants.