Soit \(C\subset{\Cc}\) une courbe orientée \(C^1\) et fermée. Soit \(\gamma\) un chemin \(C^1\) d’origine \(a\) et d’extrémité \(b\), tels que \(a\) et \(b\) ne soient pas des points de \(C\). On suppose que l’intersection de \(C\) et \(\gamma\) est constituée d’un nombre fini de points \(m_1,\dots,m_n\) et que les tangentes à \(C\) et à \(\gamma\) sont distinctes en ces points. Soit \(\varepsilon _i=1\) si l’angle de la tangente à \(\gamma\) avec la tangente à \(C\) en \(m_i\) est entre 0 et \(\pi\), \(\varepsilon _i=-1\) sinon. Montrer que \[\sum_i \varepsilon _i=\mathrm{Ind}_C(a)-\mathrm{Ind}_C(b)\] où \(\mathrm{Ind}_C(z)\) désigne l’indice de \(z\) par rapport à \(C\).
Calculer l’indice du point \(z={3\over 4}\) par rapport à la courbe dont l’équation en coordonnées polaires est \(r=\cos {\theta \over 3}\) avec \(0\le \theta \le 3\pi\), parcourue dans le sens des \(\theta\) croissants.