Soit \(f(z)=\sum_{n\ge 0}a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R>0\). Pour \(r<R\), soit \(\gamma_r\colon t\mapsto re^{it}\), \(t\in [0,2\pi]\) et \[I(r)={1\over 2i\pi}\int_{\gamma_r}\vert f(z)\vert ^2{dz\over z}.\]
1
Montrer que \(I(r)=\sum_{n=0}^{+\infty}\vert a_n\vert ^2 r^{2n}\).
2
En déduire une nouvelle démonstration des inégalités de Cauchy et montrer que si \(f\) n’est pas un monôme, ces inégalités sont strictes.
3
En considérant \(f(z)=1/(1-z)^2\), montrer que pour \(r<1\), \[{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}{dt\over (1-2r\cos t+r^2)^2}=\sum_{n=1}^{+\infty}n^2r^{2n-2}.\]