L3 Analyse complexe Formule de Cauchy 3 questions

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Soit f(z)=∑n≥0anznf(z)=\sum_{n\ge 0}a_nz^n une série entière de rayon de convergence R>0R>0. Pour r<Rr<R, soit γr ⁣:t↦reit\gamma_r\colon t\mapsto re^{it}, t∈[0,2π]t\in [0,2\pi] et I(r)=12iπ∫γr∣f(z)∣2dzz.I(r)={1\over 2i\pi}\int_{\gamma_r}\vert f(z)\vert ^2{dz\over z}.

1

Montrer que I(r)=∑n=0+∞∣an∣2r2nI(r)=\sum_{n=0}^{+\infty}\vert a_n\vert ^2 r^{2n}.

2

En déduire une nouvelle démonstration des inégalités de Cauchy et montrer que si ff n’est pas un monôme, ces inégalités sont strictes.

3

En considérant f(z)=1/(1−z)2f(z)=1/(1-z)^2, montrer que pour r<1r<1, 12π∫02πdt(1−2rcos⁡t+r2)2=∑n=1+∞n2r2n−2.{1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}{dt\over (1-2r\cos t+r^2)^2}=\sum_{n=1}^{+\infty}n^2r^{2n-2}.

Exercice vnVD

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